分治算法
分治的基本概念
把一个任务，分成形式和原任务相同，但规模更小的
几个部分任务（通常是两个部分），分别完成，或只
需要选一部完成。然后再处理完成后的这一个或几个
部分的结果，实现整个任务的完成。
5
分治的生活实例 --称假币
16硬币，有可能有1枚假币，假币比真币轻。有一架天
平，用最少称量次数确定有没有假币，若有的话，假
币是哪一枚。
6
分治的生活实例 – 称假币
8 – 8 一称，发现无假币，或假币所在的那8枚
4 – 4 一称
2 – 2 一称
1 – 1 一称
7
归并排序
信息科学技术学院
挪威天池
数组排序任务可以如下完成：
1） 把前一半排序
2) 把后一半排序
3) 把两半归并到一个新的有序数组，然后再拷贝回原
数组，排序完成。
9
分治的典型应用：归并排序
分治的典型应用：归并排序
#include <iostream>
using namespace std;
void Merge(int a[],int s,int m, int e,int tmp[])
{//将数组a的局部a[s,m]和a[m+1,e]合并到tmp,并保证tmp有序，然后再拷贝回a[s,m]
//归并操作时间复杂度：O（e-m+1),即O（n)
int pb = 0;
int p1 = s,p2 = m+1;
while( p1 <= m && p2 <= e) {
if( a[p1] < a[p2])
tmp[pb++] = a[p1++];
else
tmp[pb++] = a[p2++];
}
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while( p1 <= m)
tmp[pb++] = a[p1++];
while( p2 <= e)
tmp[pb++] = a[p2++];
for(int i = 0;i < e-s+1; ++i)
a[s+i] = tmp[i];
}
void MergeSort(int a[],int s,int e,int tmp[])
{
if( s < e) {
int m = s + (e-s)/2;
MergeSort(a,s,m,tmp);
MergeSort(a,m+1,e,tmp);
Merge(a,s,m,e,tmp);
}
}
11
int a[10] = { 13,27,19,2,8,12,2,8,30,89};
int b[10]；
int main()
{
int size = sizeof(a)/sizeof(int);
MergeSort(a,0,size-1,b);
for(int i = 0;i < size; ++i)
cout << a[i] << ",";
cout << endl;
return 0;
}
12
1 4 9 12
2 5 8 13
归并排序的时间复杂度
对n个元素进行排序的时间：
T(n) = 2T(n/2) + an (a是常数,具体多少不重要）
= 2*(2T(n/4)+an/2)+an
= 4T(n/4)+2an
= 4(2T(n/8)+an/4)+2an
= 8T(n/8)+3an
…
= 2k T(n/2k)+kan
一直做到 n/2k = 1 (此时 k = log2n)，
T(n)= 2k T(1)+kan = 2k T(1)+kan = 2k+kan
= n+a*(log2n)*n
复杂度O(nlogn)
14
快速排序
信息科学技术学院
挪威奥勒松
分治的典型应用：快速排序
数组排序任务可以如下完成：
1）设k=a[0], 将k挪到适当位置，使得比k小的元素都
在k左边,比k大的元素都在k右边，和k相等的，不关心
在k左右出现均可 （O（n)时间完成）
2) 把k左边的部分快速排序
3) 把k右边的部分快速排序
7
1
3
8 12 11
2
9
K = 7 i j
7
1
3
8 12 11
2
9
K = 7 i j
2
1
3
8 12 11
7
9
K = 7 i j
2
1
3
8 12 11
7
9
K = 7 i j
2
1
3
8 12 11
7
9
K = 7 i j
2
1
3
8 12 11
7
9
K = 7 i j
2
1
3
7 12 11
8
9
K = 7 i j
2
1
3
7 12 11
8
9
K = 7 i j
2
1
3
7 12 11
8
9
K = 7 i j
分治的典型应用：快速排序
#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int & a,int & b) //交换变量a,b值
{
int tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
void QuickSort(int a[],int s,int e)
{
if( s >= e)
return;
int k = a[s];
int i = s,j = e;
while( i != j ) {
while( j > i && a[j] >= k )
--j;
swap(a[i],a[j]);
while( i < j && a[i] <= k )
++i;
swap(a[i],a[j]);
} //处理完后，a[i] = k
QuickSort(a,s,i-1);
QuickSort(a,i+1,e);
}
int a[] = { 93,27,30,2,8,12,2,8,30,89};
int main()
{
int size = sizeof(a)/sizeof(int);
QuickSort(a,0,size-1);
for(int i = 0;i < size; ++i)
cout << a[i] << ",";
cout << endl;
return 0;
}
例题
输出前m大的数
信息科学技术学院
冰岛火山口湖
例题：输出前m大的数
描述
给定一个数组包含n个元素，统计前m大的数并且把这m个数从大到小
输出。
输入
第一行包含一个整数n，表示数组的大小。n < 100000。
第二行包含n个整数，表示数组的元素，整数之间以一个空格分开
。每个整数的绝对值不超过100000000。
第三行包含一个整数m。m < n。
输出
从大到小输出前m大的数，每个数一行。
例题：输出前m大的数
排序后再输出，复杂度 O(nlogn)
用分治处理：复杂度 O(n+mlogm)
思路：把前m大的都弄到数组最右边，然后对这最右边m个元素排序，
再输出
关键 ：O(n)时间内实现把前m大的都弄到数组最右边
例题：输出前m大的数
引入操作 arrangeRight(k): 把数组(或数组的一部分）前k大的
都弄到最右边
如何将前k大的都弄到最右边
1）设key=a[0], 将key挪到适当位置，使得比key小的元素都在
key左边，比key大的元素都在key右边（线性时间完成）
2) 选择数组的前部或后部再进行 arrangeRight操作
例题：输出前m大的数
2) 选择数组的前部或后部再进行 arrangeRight操作
key
a 个
b 个
a = k done
a > k 对最右边a-1个元素再进行arrangeRigth(k)
a < k 对左边b个元素再进行arrangeRight(k-a)
例题：输出前m大的数
将前m大的都弄到数组最右边的时间：
T(n) = T(n/2) + an
= T(n/4) + an/2 + an
= T(n/8) + an/4 + an/2 + an
= …
= T(1) + … + an/8 + an/4 + an/2 + an
< 2an
即 O(n)
例题
求排列的逆序数
信息科学技术学院
冰岛维克镇黑沙滩
例题：求排列的逆序数
考虑1,2,…,n (n <= 100000)的排列i1，i2，…，in，如果其中存在j,k，满足 j <
k 且 i
j > ik， 那么就称(ij
,ik
)是这个排列的一个逆序。
一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个
逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。
现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。
例题：求排列的逆序数
笨办法：O(n2
)
分治O(nlogn)：
1） 将数组分成两半，分别求出左半边的逆序数和右半边的逆序数
2） 再算有多少逆序是由左半边取一个数和右半边取一个数构成(要求O(n)实
现）
例题：求排列的逆序数
2) 的关键：左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从大到小排序的。这
样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的
逆序个数
10 8 7 3 12 11 5 2
i j
例题：求排列的逆序数
2) 的关键：左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从大到小排序的。这
样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的
逆序个数
10 8 7 3 12 11 5 2
i j
例题：求排列的逆序数
2) 的关键：左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从大到小排序的。这
样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的
逆序个数
10 8 7 3 12 11 5 2
i j
例题：求排列的逆序数
2) 的关键：左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从大到小排序的。这
样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的
逆序个数
10 8 7 3 12 11 5 2
i j
例题：求排列的逆序数
2) 的关键：左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从大到小排序的。这
样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的
逆序个数
10 8 7 3 12 11 5 2
i j
例题：求排列的逆序数
2) 的关键：左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从大到小排序的。这
样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的
逆序个数
10 8 7 3 12 11 5 2
i j
例题：求排列的逆序数
2) 的关键：左半边和右半边都是排好序的。比如，都是从大到小排序的。这
样，左右半边只需要从头到尾各扫一遍，就可以找出由两边各取一个数构成的
逆序个数
10 8 7 3 12 11 5 2
i j
例题：求排列的逆序数
总结：
由归并排序改进得到，加上计算逆序的步骤
MergeSortAndCount: 归并排序并计算逆序数
快速幂
信息科学技术学院
冰岛天然玄武岩长城
快速幂
int Pow(int a,int b)
{ //快速求a^b ，复杂度 log(b)
if(b == 0)
return 1;
if(b & 1) { //b是奇数
return a * Pow(a,b-1);
}
else {
int t = Pow(a,b/2);
return t * t;
}
}
47
快速幂
int Pow(int a,int b)
{ //快速求a^b ，复杂度 log(b)
int result = 1;
int base = a;
while(b) {
if( b & 1)
result *= base;
base *= base;
b >>= 1;
}
return result;
}
48