【力扣】338：比特位計數 | 位運算| 動態規劃|

題目描述

給定一個非負整數 num。對於 0 ≤ i ≤ num 範圍中的每個數字 i ，計算其二進制數中的 1 的數目並將它們作爲數組返回。

進階:
給出時間複雜度爲O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在線性時間O(n)內用一趟掃描做到嗎？
要求算法的空間複雜度爲O(n)。
你能進一步完善解法嗎？要求在C++或任何其他語言中不使用任何內置函數（如 C++ 中的 __builtin_popcount）來執行此操作。

算法思路

最簡單的時間複雜度爲O(n*len(integer))，

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        res=[]
        for i in range(num+1):
            res.append(bin(i).count('1'))
        return res

執行用時 :104 ms, 在所有 Python3 提交中擊敗了53.64%的用戶
內存消耗 :20.3 MB, 在所有 Python3 提交中擊敗了11.11%的用戶

動態規劃

標籤裏有動態規劃，在這個提示下思考，所有2的冪的二進制都只有一個1，

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        if num==0:return[0]
        res=[0,1]
        one=[2**i for i in range(1,33)]
        for i in range(2,num+1):
            for k,v in enumerate(one):
                if i<v:
                    res.append(res[i-one[k-1]]+1)
                    break
            one=one[k-1:]
        return res

無語於怎麼改都不見快。

規律

class Solution(object):
    def countBits(self, num):
        """ 
        1: 0001     3:  0011      0: 0000
        2: 0010     6:  0110      1: 0001
        4: 0100     12: 1100      2: 0010 
        8: 1000     24: 11000     3: 0011
        16:10000    48: 110000    4: 0100
        32:100000   96: 1100000   5: 0101
        
        由上可見：
        1、如果 i 爲偶數，那麼f(i) = f(i/2) ,因爲 i/2 本質上是i的二進制左移一位，低位補零，所以1的數量不變。
        2、如果 i 爲奇數，那麼f(i) = f(i - 1) + 1， 因爲如果i爲奇數，那麼 i - 1必定爲偶數，而偶數的二進制最低位一定是0，
        那麼該偶數 +1 後最低位變爲1且不會進位，所以奇數比它上一個偶數bit上多一個1，即 f(i) = f(i - 1) + 1。
        :type num: int
        :rtype: List[int]
        """
        ret = [0]
        for i in range(1, num + 1):
            if i % 2 == 0: # 偶數
                ret.append(ret[i//2])
            else: # 奇數
                ret.append(ret[i - 1] + 1)
        return ret

也不見快就是了。

python果然慢的一批啊。

位運算

高階應用。

方法一：i & (i - 1)可以去掉i最右邊的一個1（如果有），因此 i & (i - 1）是比 i 小的，而且i & (i - 1)的1的個數已經在前面算過了，所以i的1的個數就是 i & (i - 1)的1的個數加上1
    public int[] countBits(int num) {
        int[] res = new int[num + 1];
        for(int i = 1;i<= num;i++){  //注意要從1開始，0不滿足
            res[i] = res[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return res;
    }
方法二：i >> 1會把最低位去掉，因此i >> 1 也是比i小的，同樣也是在前面的數組裏算過。當 i 的最低位是0，則 i 中1的個數和i >> 1中1的個數相同；當i的最低位是1，i 中1的個數是 i >> 1中1的個數再加1
    public int[] countBits(int num) {
        int[] res = new int[num + 1];
        for(int i = 0;i<= num;i++){
            res[i] = res[i >> 1] + (i & 1);  //注意i&1需要加括號
        }
        return res;
    }

class Solution:
    def countBits(self, num: int) -> List[int]:
        ret = [0]
        for i in range(1, num + 1):
            ret.append(ret[i&(i-1)] + 1)
        return ret