C++數據結構_樹的理論學習筆記（1）_基本概念和基本操作

        前言：樹型結構是一類重要的非線性結構,其特點是結點之間有分支,並具有層次關係。

1.1 基本概念

1.1.1 樹

        樹是由n(n≥１)個有限結點組成的一個具有層次關係的集合, 把它叫作“樹”是因爲它看起來像一棵倒掛的樹,也就是說樹是根朝上,而葉朝下的。如圖所示：

        它具有以下的特點：
            ① 每個結點有零個或多個子結點;
            ② 每個子結點只有一個父結點;
            ③ 沒有前驅的結點爲根結點;
            ④ 除了根結點外,每個子結點可以分爲許多個不相交的子樹。

        爲方便描述樹的特點，先列出將會涉及到的樹的基本概念：
            ①結點的度：一個結點含有的子樹個數；
            ②樹的度：一棵樹中，最大的結點的度；
            ③葉結點（終端結點）：度爲0的結點；
            ④分支結點（非終端結點）：度不爲0的結點；
            ⑤孩子結點：一個結點的子樹的根結點；
            ⑥雙親結點（父結點）：在含有孩子的結點中，該結點稱爲孩子結點的雙親結點；
            ⑦兄弟結點：具有相同雙親的結點；
            ⑧祖先節點：從根到該結點所經分支上的所有結點；
            ⑨子孫結點：以某結點爲根的子樹中任意結點；
            ⑩節點的層次：從根開始定義，根爲第一層，根的孩子爲第二層，以此類推。如下圖所示：
                
            ⑪樹的高度（深度）：樹中結點的最大層次；
            ⑫路徑：從根結點到某一結點的一條通道；
            ⑬路徑長度：路徑經過的邊的個數。如下圖所示：
                

1.1.2 二叉樹

        1.綜述：二叉樹是每個結點最多有兩個子樹的有序樹，通常子樹的根被稱爲“左子樹”和“右子樹”。如下圖所示。二叉樹是一種最簡單的樹結構，任何樹都可以簡單轉換爲二叉樹。
            
        2.樹和二叉樹的區別
            ①樹的結點個數至少爲1，而二叉樹的結點個數可以爲0；
            ②樹中結點的最大度數沒有限制，而二叉樹結點最大度數爲2；

        3.兩種特殊的而二叉樹
            （1）滿二叉樹
                滿二叉樹中所有的葉節點都在最後一層，而其他分支結點的度數都爲2。示例如下：
                    
            （2）完全二叉樹
                若一個二叉樹扣除其最後一層後變成一個滿二叉樹，且最後一層的所有結點都向左靠齊，則稱該二叉樹爲完全二叉樹。示例如下：
                    
            ★滿二叉樹一定爲完全二叉樹，完全二叉樹不一定爲滿二叉樹

        3.二叉樹常見的性質
            性質1    一顆非空二叉樹的第i層上最多有2^i-1個結點（i≥1）
            性質2    深度爲h的二叉樹最多有2^h-1個結點（h＞1）
            性質3    對於任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數爲n₀，度爲2的結點數爲n₂，則n₀=n₂+1
            性質4    若一個正則二叉樹（只有度爲0和2結點的二叉樹）中有n個葉子結點，則該二叉樹結點總數爲log₂n（由 性質2 推導）
            性質5    對於具有n個結點的完全二叉樹，如果如果按照從上到下、同一層次上的結點按從左 到右的順序對二叉樹中的所有結點從1開始順序編號,則對於序號爲i的結點,有
                ① 如果i＞1,則序號爲i的結點其雙親結點的序號爲[i/2] ([i/2] 表示對i/2的值取整); 如果i＝1,則結點i爲根結點,沒有雙親
                ② 如果2i＞n,則結點i無左孩子(此時結點i爲終端結點);否則其左孩子爲結點2i
                ③ 如果2i＋1＞n,則結點i無右孩子;否則其右孩子爲結點2i＋1

1.1.3 森林

        由m（m≥0）棵互不相交的樹構成的集合稱爲森林。如下圖所示，該森林由三棵樹所構成：
            

1.2 基本操作

1.2.1 樹的遍歷

        1.前序遍歷
            ①訪問根結點；
            ②按照從左到右的順序前序遍歷根結點的每一棵子樹。
        2.後序遍歷
            ①按照從左到右的順序後序遍歷根結點的每一棵子樹；
            ②訪問根結點。
        3.層序遍歷（廣度遍歷）
            從樹的第一層（也就是根結點）開始自上而下逐層遍歷，每一層按照從左到右的順序逐個訪問結點。

    下圖展示了按照這三種遍歷方式所對應的遍歷結果：
        

1.2.2 二叉樹的遍歷

        1.前序遍歷
            ①訪問根結點
            ②前序遍歷訪問根結點的左子樹
            ③前序遍歷訪問根結點的右子樹
        2.中序遍歷
            ①中序遍歷訪問根結點的左子樹
            ②訪問根結點
            ③中序遍歷訪問根結點的右子樹
        3.後序遍歷
            ①後序遍歷訪問根結點的左子樹
            ②後序遍歷訪問根結點的右子樹
            ③訪問根結點
        4.層序遍歷
            按照從上到下，同一層次從左到右的順序訪問二叉樹

        下圖展示了一棵二叉樹四種遍歷方式的結果：
            
    ★由二叉樹的前序（後序）序列和中序序列可以唯一確定一棵二叉樹，但是只由前序序列和後序序列不能確定一棵二叉樹。

1.2.3 森林的遍歷

        1.前序遍歷
            若森林非空，則：
            ①訪問森林中第一棵樹的根結點
            ②前序遍歷第一棵樹中根結點的每一棵子樹
            ③前序遍歷除第一棵樹外的其他樹
        2.後序遍歷
            若森林非空，則：
            ①後序遍歷第一棵樹的根結點的各個子樹
            ②訪問第一棵樹的根結點
            ③後序遍歷除第一棵樹外的其他樹

        下圖給出了一個三棵樹的森林的兩種遍歷結果：
            
        ★根據森林，樹和二叉樹的關係，可以得知：
            ①前序遍歷森林＝前序遍歷該森林對應的二叉樹
            ②後序遍歷森林＝中序遍歷該森林所對應的二叉樹
            ③前序遍歷樹＝前序遍歷該樹所對應的二叉樹
            ④後序遍歷樹＝中序遍歷該樹所對應的二叉樹

1.2.4 樹、森林和二叉樹的轉換

        1.樹、森林轉換成二叉樹
            ①在所有兄弟之間加一條線
            ②對每個結點，去掉該結點和除長子外與其他孩子的連線
        樹轉換爲二叉樹如下圖所示：
            
        森林轉換成二叉樹如下圖所示：
            
        2.二叉樹轉換成樹、森林
        若結點x是雙親y的左孩子，則把x的右孩子、右孩子的右孩子都與y連起來，最後去掉雙親到右孩子的連線。如圖所示：
            

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