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題目描述
這一晚，TT 做了個美夢！
在夢中，TT 的願望成真了，他成爲了喵星的統領！喵星上有 N 個商業城市，編號 1 ～ N，其中 1 號城市是 TT 所在的城市，即首都。
喵星上共有 M 條有向道路供商業城市相互往來。但是隨着喵星商業的日漸繁榮，有些道路變得非常擁擠。正在 TT 爲之苦惱之時，他的魔法小貓咪提出了一個解決方案！TT 欣然接受並針對該方案頒佈了一項新的政策。
具體政策如下：對每一個商業城市標記一個正整數，表示其繁榮程度，當每一隻喵沿道路從一個商業城市走到另一個商業城市時，TT 都會收取它們（目的地繁榮程度 - 出發地繁榮程度）^ 3 的稅。
TT 打算測試一下這項政策是否合理，因此他想知道從首都出發，走到其他城市至少要交多少的稅，如果總金額小於 3 或者無法到達請悄咪咪地打出 ‘?’。
輸入
第一行輸入 T，表明共有 T 組數據。（1 <= T <= 50）
對於每一組數據，第一行輸入 N，表示點的個數。（1 <= N <= 200）
第二行輸入 N 個整數，表示 1 ～ N 點的權值 a[i]。（0 <= a[i] <= 20）
第三行輸入 M，表示有向道路的條數。（0 <= M <= 100000）
接下來 M 行，每行有兩個整數 A B，表示存在一條 A 到 B 的有向道路。
接下來給出一個整數 Q，表示詢問個數。（0 <= Q <= 100000）
每一次詢問給出一個 P，表示求 1 號點到 P 號點的最少稅費。
輸出
每個詢問輸出一行，如果不可達或稅費小於 3 則輸出 ‘?’。
樣例輸入
2
5
6 7 8 9 10
6
1 2
2 3
3 4
1 5
5 4
4 5
2
4
5
10
1 2 4 4 5 6 7 8 9 10
10
1 2
2 3
3 1
1 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
2
3 10
樣例輸出
Case 1:
3
4
Case 2:
?
?
思路
綜述
這道題主要考察的是SPFA解決單源最短路問題，解決負邊和負環問題；
SPFA
這個算法和dijkstra類似，dijkstra處理的原則是貪心算法，某個點出堆之後不會再入堆，而SPFA算法會在每次鬆弛成功之後都入隊列，所以這個算法是可以實現重複入隊操作；
爲什麼dijkstra算法處理不了帶有負權值的邊的圖
dijkstra是基於貪心策略，每次都找一個距源點最近的點，然後將該距離定爲這個點到源點的最短路徑；但如果存在負權邊，那就有可能先通過並不是距源點最近的一個次優點，再通過這個負權邊，使得路徑之和更小，這樣就出現了錯誤。
爲什麼SPFA可以處理負邊：
因爲在SPFA中每一個點鬆弛過後說明這個點距離更近了，所以有可能通過這個點會再次優化其他點，所以將這個點入隊再判斷一次，
如何判斷成環：
兩個點之間最短路徑：不會超過N-1，所以加一個數組記錄兩點之間的路徑個數即可；
本題邊權如何確定
本題是有向圖，所以邊權就是（目的地繁榮程度 - 出發地繁榮程度）^ 3
過程
Step1:輸入
圖的存儲採用前向星（參考圖論）
同樣注意每組數據之間的初始化問題；
Step2:SPFA
負環的發現：兩點之間的邊數大於N-1
此時需要
for (long long i = 0; i < q; i++) {
cin >> L >> R;
cin >> c;
b[L] += c;
if (R != n)
b[R + 1] -= c;
}
代碼
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int MAX = 1e6;
int T, N, M, Q;
int tot = 0;
int dis[205];
int vis[205];
int cnt[205];
struct Edge {
int u, v, w, nxt;
}e[100050];
int head[205];
int a[205];
int fuhuan[205];
void addEdge(int u, int v, int w) {
e[tot].u = u;
e[tot].v = v;
e[tot].w = w;
e[tot].nxt = head[u];
head[u] = tot;
tot++;
}
void init() {
for (int i = 0; i < 205; i++) {
head[i] = -1;
fuhuan[i] = 0;
dis[i] = MAX;
vis[i] = 0;
cnt[i] = 0;
}
tot = 0;
}
int S = 1;
void dfs(int u) {
fuhuan[u] = 1;
for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
if (!fuhuan[v]) {
fuhuan[v] = 1;
dfs(v);
}
}
}
void SPFA() {
queue<int> qq;
dis[S] = 0;
vis[S] = 1;
qq.push(S);
while (!qq.empty()) {
int u = qq.front();
qq.pop();
if (fuhuan[u])continue;
vis[u] = 0;
for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
int w = e[i].w;
if (dis[v] > dis[u] + w) {
cnt[v] = cnt[u] + 1;
//cout << "!!:" << dis[v] << endl;
//cout << "term:" << cnt[v] << endl;
if (cnt[v] >= N) {
//找到負環
//cout << "QQQ" << endl;
dfs(v);
}
dis[v] = dis[u] + w;
if (!vis[v]) {
qq.push(v);
vis[v] = 1;
}
}
}
}
}
int main() {
int x, y;
cin >> T;
for (int i = 0; i < T; i++) {
init();
cin >> N;
for (int j = 1; j <= N; j++)cin >> a[j];
cin >> M;
for (int j = 0; j < M; j++) {
cin >> x >> y;
int num = a[y] - a[x];
addEdge(x, y, num * num * num);
}
cin >> Q;
SPFA();
int q;
cout << "Case " << i + 1 << ":" << endl;
//cout << "here" << endl;
//for (int j = 1; j <= N; j++)cout << fuhuan[j] << " ";
//cout << endl;
for (int j = 0; j < Q; j++) {
cin >> q;
if (fuhuan[q] || dis[q] < 3 || dis[q] == MAX)cout << "?" << endl;
else cout << dis[q] << endl;
}
}
}