算法筆記---問題 A: 還是暢通工程

題目描述

某省調查鄉村交通狀況，得到的統計表中列出了任意兩村莊間的距離。省政府“暢通工程”的目標是使全省任何兩個村莊間都可以實現公路交通（但不一定有直接的公路相連，只要能間接通過公路可達即可），並要求鋪設的公路總長度爲最小。請計算最小的公路總長度。

輸入

測試輸入包含若干測試用例。每個測試用例的第1行給出村莊數目N ( < 100 )；隨後的N(N-1)/2行對應村莊間的距離，每行給出一對正整數，分別是兩個村莊的編號，以及此兩村莊間的距離。爲簡單起見，村莊從1到N編號。當N爲0時，輸入結束，該用例不被處理。

輸出

對每個測試用例，在1行裏輸出最小的公路總長度。

樣例：

輸入：

8
1 2 42
1 3 68
1 4 35
1 5 1
1 6 70
1 7 25
1 8 79
2 3 59
2 4 63
2 5 65
2 6 6
2 7 46
2 8 82
3 4 28
3 5 62
3 6 92
3 7 96
3 8 43
4 5 28
4 6 37
4 7 92
4 8 5
5 6 3
5 7 54
5 8 93
6 7 83
6 8 22
7 8 17
0

輸出：

82

解題思路：
該題是一道求解最小生成樹的問題，可以使用Prim算法 或者 Kruskal算法來實現。

若對兩種方法的具體實現過程不是很清楚，可以查看下面的講解：

Prim算法具體實現過程：算法筆記—Prim算法
Kruskal算法具體實現過程：算法筆記—Kruskal算法

下面是兩種算法的AC代碼：

Prim算法實現該題：

//Prim算法實現
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int max_v = 110;//結點數
const int INF = 1000000000;//表示無窮大
int G[max_v][max_v];//圖
bool visited[max_v];//標記當前結點是否被訪問
int dis[max_v];//表示未訪問集合到已訪問集合的最短距離

int prim(int n){
    fill(dis,dis + max_v,INF);
    dis[1] = 0;//表示以 1 作爲根結點
    int result = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        int index = -1;
        int min = INF;
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            if (visited[j] == false && dis[j] < min)
            {
                min = dis[j];
                index = j;
            }
        }
        if(index == -1){
            return -1;
        }
        visited[index] = true;
        result += dis[index];
        for(int k = 1;k <= n;k++){
            if(visited[k] == false && G[index][k] != INF && G[index][k] < dis[k]){
                dis[k] = G[index][k];
            }
        }
    }
    return result;
}


//還是通暢工程
int main(){
    int n;
    int u,v,w;
    int result = 0;
    while(cin>>n){
        if(n == 0){
            break;
        }
        fill(G[0],G[0] + max_v * max_v,INF);
        fill(visited,visited + max_v,false);
        for(int i = 0; i < n * (n - 1) / 2;i++){
            cin >> u >> v >> w;
            G[u][v] = G[v][u] = w;
        }
        result = prim(n);
        cout<<result<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

Kruskal算法實現該題：

//Kruskal算法實現
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int max_v = 110;//節點數
const int max_e = 10010;// 邊數
struct edge{
    int start;
    int end;
    int weight;
}E[max_e];

bool cmp(edge e1,edge e2){
    return e1.weight < e2.weight;
}

int father[max_v];//表示每個結點的根結點

int find_father(int x){
    if(x == father[x]){
        return x;
    }
    //壓縮路徑
    int root_val = find_father(father[x]);
    father[x] = root_val;
    return root_val;
}

int kruskal(int n,int m){
    int result = 0;
    int edge_num = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        father[i] = i;
    }
    sort(E,E + m,cmp);
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int start_father = find_father(E[i].start);
        int end_father = find_father(E[i].end);
        if(start_father != end_father){
            //合併
            father[start_father] = end_father;
            result += E[i].weight;
            edge_num++;
            if(edge_num == n - 1){
                break;
            }
        }
    }
    if(edge_num != n - 1){
        //表示爲非連通圖
        return -1;
    }
    return result;
}

//還是暢通工程
int main(){
    int n;//節點數
    int result;//最小生成樹的權值
    while(cin>>n){
        if(n == 0){
            break;
        }
        for(int i = 0; i < n * (n - 1) / 2; i++){
            cin>>E[i].start>>E[i].end>>E[i].weight;
        }
        result = kruskal(n,n * (n - 1) / 2);
        cout << result<<endl;
    }
    
    system("pause");
    return 0;
}