算法笔记---问题 A: 还是畅通工程

题目描述

某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

输入

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

输出

对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

样例：

输入：

8
1 2 42
1 3 68
1 4 35
1 5 1
1 6 70
1 7 25
1 8 79
2 3 59
2 4 63
2 5 65
2 6 6
2 7 46
2 8 82
3 4 28
3 5 62
3 6 92
3 7 96
3 8 43
4 5 28
4 6 37
4 7 92
4 8 5
5 6 3
5 7 54
5 8 93
6 7 83
6 8 22
7 8 17
0

输出：

82

解题思路：
该题是一道求解最小生成树的问题，可以使用Prim算法 或者 Kruskal算法来实现。

若对两种方法的具体实现过程不是很清楚，可以查看下面的讲解：

Prim算法具体实现过程：算法笔记—Prim算法
Kruskal算法具体实现过程：算法笔记—Kruskal算法

下面是两种算法的AC代码：

Prim算法实现该题：

//Prim算法实现
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int max_v = 110;//结点数
const int INF = 1000000000;//表示无穷大
int G[max_v][max_v];//图
bool visited[max_v];//标记当前结点是否被访问
int dis[max_v];//表示未访问集合到已访问集合的最短距离

int prim(int n){
    fill(dis,dis + max_v,INF);
    dis[1] = 0;//表示以 1 作为根结点
    int result = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        int index = -1;
        int min = INF;
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            if (visited[j] == false && dis[j] < min)
            {
                min = dis[j];
                index = j;
            }
        }
        if(index == -1){
            return -1;
        }
        visited[index] = true;
        result += dis[index];
        for(int k = 1;k <= n;k++){
            if(visited[k] == false && G[index][k] != INF && G[index][k] < dis[k]){
                dis[k] = G[index][k];
            }
        }
    }
    return result;
}


//还是通畅工程
int main(){
    int n;
    int u,v,w;
    int result = 0;
    while(cin>>n){
        if(n == 0){
            break;
        }
        fill(G[0],G[0] + max_v * max_v,INF);
        fill(visited,visited + max_v,false);
        for(int i = 0; i < n * (n - 1) / 2;i++){
            cin >> u >> v >> w;
            G[u][v] = G[v][u] = w;
        }
        result = prim(n);
        cout<<result<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

Kruskal算法实现该题：

//Kruskal算法实现
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int max_v = 110;//节点数
const int max_e = 10010;// 边数
struct edge{
    int start;
    int end;
    int weight;
}E[max_e];

bool cmp(edge e1,edge e2){
    return e1.weight < e2.weight;
}

int father[max_v];//表示每个结点的根结点

int find_father(int x){
    if(x == father[x]){
        return x;
    }
    //压缩路径
    int root_val = find_father(father[x]);
    father[x] = root_val;
    return root_val;
}

int kruskal(int n,int m){
    int result = 0;
    int edge_num = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        father[i] = i;
    }
    sort(E,E + m,cmp);
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int start_father = find_father(E[i].start);
        int end_father = find_father(E[i].end);
        if(start_father != end_father){
            //合并
            father[start_father] = end_father;
            result += E[i].weight;
            edge_num++;
            if(edge_num == n - 1){
                break;
            }
        }
    }
    if(edge_num != n - 1){
        //表示为非连通图
        return -1;
    }
    return result;
}

//还是畅通工程
int main(){
    int n;//节点数
    int result;//最小生成树的权值
    while(cin>>n){
        if(n == 0){
            break;
        }
        for(int i = 0; i < n * (n - 1) / 2; i++){
            cin>>E[i].start>>E[i].end>>E[i].weight;
        }
        result = kruskal(n,n * (n - 1) / 2);
        cout << result<<endl;
    }
    
    system("pause");
    return 0;
}