[部分內容摘自網絡]性質定理小結


1. 給定四個點,判斷能否組成正方形

求出任意兩點之間的六條邊後,從小到大排序。
如果前四條邊相等,後兩條邊相等,且後兩條邊的長度大於前四條邊邊,則可以組成正方形。

2. 歐拉定理

連通圖:
設一個二維幾何圖形的頂點數爲V,劃分區域數爲Ar,一筆畫筆數爲B,則有:
V+Ar-B=1
(如:矩形加上兩條對角線所組成的圖形,V=5,Ar=4,B=8)定理內容
( 歐拉公式的推廣形式 ) 對於具有 k (k ≥ 1) 個連通分支的平面圖 G ,有 n – m + r = k+1 。
在同一個三角形中,它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。


3. 費馬小定理是數論中的一個重要定理,其內容爲: 假如p是質數,且(a,p)=1,那麼 a^(p-1) ≡1(mod p)。即:假如p是質數,且a,p互質,那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

4. 歐拉定理,(也稱費馬-歐拉定理)是一個關於同餘的性質。歐拉定理表明,若n,a爲正整數,且n,a互質,則:

5. 歐拉函數

定義:用於計算 p(n),比n小的所有與n互質的數。

計算公式:p(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)....*(1-1/pk)【p1,p2,pk都是n的素因子】

另:若n=p1^q1*p2^q2*.....*pk^qk

則,p(n)=(p1-1)*p1^(q1-1)*(p1-1)*p2^(q2-1)......*(pk-1)*pk^(qk-1)

性質:若m,n互質,φ(mn)=φ(m)φ(n)。當n爲奇數時,φ(2n)=φ(n)

6. 歐拉定理:

a,m互質,a^φ(m)≡1(mod m)

例:2,3互質,那麼,2^2%3=1

推論:對於互質的數a、n,滿足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

歐拉公式的延伸:小於n 與n互質的數的和 是euler(n)*n/2

 

多個數的最小公倍數 每個數分解因子 質因子最高次冪相乘之積


7. 反素數

反素數 = 求約數最多的數 :對於任何正整數x,其約數的個數記做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.如果某個正整數x滿足:對於任意i(0<i<x),都有g(i)<g(x),則稱x爲反素數.

性質一:一個反素數的質因子必然是從2開始連續的質數.

性質二:p=2^t1*3^t2*5^t3*7^t4.....必然t1>=t2>=t3>=....

 

8. 約瑟夫:

f[1] = 0; f[i] = (f[i-1]+m)%i;

 

9. 高次冪取模:

a^b%c = a ^(b%eular(c)+eular(c)) % c。 eular(c)爲歐拉函數

 

10. 鴿巢原理 : 若有n個籠子和n+1只鴿子,所有的鴿子都被關在鴿籠裏,那麼至少有一個籠子有至少2只鴿子。

若有n個籠子和kn+1只鴿子,所有的鴿子都被關在鴿籠裏,那麼至少有一個籠子有至少k+1只鴿子。

 

推廣定理 拉姆齊(Ramsey)定理: 又稱拉姆齊二染色定理,是要解決以下的問題:要找這樣一個最小的數n,使得n個人中必定有k個人相識或l個人互不相識。

Pick定理是說,在一個平面直角座標系內,如果一個多邊形的頂點全都在格點上,那麼這個圖形的面積恰好就等於邊界上經過的格點數的一半加上內部所含格點數再減一。

10. pick定理的一些應用

11. 內切圓半徑

直角三角形中

1、兩直角邊相加的和減去斜邊後除以2,得數是內切圓的半徑:
r=(a+b-c)/2(注:s是Rt△的面積,a, b是Rt△的2個直角邊,c是斜邊)
2、兩直角邊乘積除以直角三角形周長,得數是內切圓的半徑:
r=ab/ (a+b+c)
1)對於一般的三角形,內切圓半徑公式如下:
[(s-a)(s-b)(s-c)/s]^(1/2)
s=(a+b+c)/2

12. 外接圓半徑
```c++
R= abc/(4S)
= ¼ abc/√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=abc/√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]

```

13.

球面距離計算公式:
d(x1,y1,x2,y2)=r*arccos(sin(x1)*sin(x2)+cos(x1)*cos(x2)*cos(y1-y2))
x1,y1是緯度\經度的弧度單位,r爲地球半徑
14.

已知任意四面體(三棱錐)六條棱的棱長,求其體積。
不妨記同一頂點引出的三條棱棱長的平方分別爲a,b,c,它們的對棱棱長的平方分別爲d,e,f,則四面體的體積V滿足:
V=
sqrt[ad(b+c+e+f-a-d)+be(a+c+d+f-b-e)+cf(a+b+d+e-c-f)-abf-bcd-cae-def)]/12

15. 幾何中的歐拉定理

設R爲三角形外接圓半徑,r爲內切圓半徑,d爲外心到內心的距離,則:
d^2=R^2-2Rr

16. 多面體

設v爲頂點數,e爲棱數,f是面數,則 v-e+f=2-2p

p爲歐拉示性數,例如

p=0 的多面體叫第零類多面體

p=1 的多面體叫第一類多面體

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