以下證明來自數學競賽dalao， 大劉，感謝大劉的技術支持
二項式定理證明（究極詳細版暴拆）
我們都知道\((a +b) ^ n = (a + b)(a + b)...(a + b)(a + b)\) 一共有n個a+b相乘，
可見，將右邊暴拆，即依次在右邊第一個a+b中任意選一項，在第二個a+b中任意選一項.....
在第n個a+b中任意選一項，一共會產生n個項相乘，
那我們假設其中選的a的個數爲k，b的個數那就是n-k，
我們將所有得到的結果加起來，因此\((a+b)^n\)的展開式具有形式：
\[(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n a_{n,k}*a^k b^{n - k}
\]
其中\(a_{n, k}\)表示每一個項\(a^kb^{n - k}\)在整個展開過程中出現的次數
顯然，這就是從上邊n個a+b裏邊無序不重複的選擇k個a的方式數
從組合數的定義可以看出這就是\(C_n^k\)
即\(\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k *a^k b^{n - k}\)
也就是常見的\(\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} *a^k b^{n - k}\)
\(C_n^k={n \choose k}\) 爲二項式係數
外贈廣義二項式定理
對於\(\forall x \in R 且 a \neq 0\) 有\(\displaystyle (1+x)^a=\sum_{k = 0}^{\infty}C^n_a x^n \ \ \ \ (|x| < 1)\)