卡爾曼濾波器的數學推導

原創 木独 2020-04-29 23:24

前言：這可能是網上最數學化的推導了，相較於其他的推導方法在數學上更加完備，這意味着對於其他的非線性濾波器如EKF或者信息濾波器IF很多其他地方都可以採用同樣的方法進行推導，一通百通。本文的卡爾曼濾波器的推導從最基礎的概率論中的貝葉斯準則和全概率公式推起，一步一步的完成卡爾曼濾波器，適合對卡爾曼有一定概念上的理解希望深入學習濾波器方法的同學。

卡爾曼濾波算法

μˉt=Atμt−1+Btut \bar{\mu}_t = A_t \mu_{t-1} + B_t u_t
Σˉt=AtΣt−1AtT+Rt \bar{\Sigma}_t = A_t \Sigma_{t-1} A_t^T + R_t
Kt=ΣˉtCtT(CtΣˉtCtT+Qt)−1 K_t = \bar{\Sigma}_t C_t^T(C_t \bar{\Sigma}_t C_t^T + Q_t)^{-1}
μt=μˉt+Kt(zt−Ctμˉt) \mu_t = \bar{\mu}_t + K_t (z_t-C_t \bar{\mu}_t)
Σt=(I−KtCt)Σˉt \Sigma_t = (I-K_t C_t)\bar{\Sigma}_t

推導過程：

先驗條件

貝葉斯準則：
p(x∣y,z)=p(y∣x,z)p(x∣z)p(y∣z) p(x|y,z)=\frac{p(y|x,z)p(x|z)}{p(y|z)}
全概率公式：
p(x)=∫p(x∣y)p(y)dy p(x) = \int p(x|y)p(y) dy
馬爾可夫性：認爲xt−1x_{t-1}是zt−1z_{t-1}、ut−1u_{t-1}的最優估計

貝葉斯濾波器推導

p(xt∣z1:t,u1:t)=p(xt∣zt,z1:t−1,u1:t)(套用貝葉斯準則)=p(zt∣xt,z1:t−1,u1:t)p(xt∣z1:t−1,u1:t)p(zt∣z1:t−1,u1:t)(分母與xt無關)=ηp(zt∣xt,z1:t−1,u1:t)p(xt∣z1:t−1,u1:t)(馬爾可夫性)=ηp(zt∣xt)p(xt∣z1:t−1,u1:t)(區分先驗後驗) p(x_t|z_{1:t},u_{1:t})=p(x_t|z_t,z_{1:t-1},u_{1:t}) (套用貝葉斯準則) \\ =\frac{p(z_t|x_t,z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t})}{p(z_t|z_{1:t-1},u_{1:t})}(分母與x_t無關)\\ =\eta p(z_t|x_t,z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t}) (馬爾可夫性)\\ =\eta p(z_t|x_t)p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t}) (區分先驗後驗) \\
對於先驗分佈p(xt∣z1:t−1,u1:t)p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t})帶入全概率公式
bel‾(xt)=p(xt∣z1:t−1,u1:t)=∫p(xt∣xt−1,z1:t−1,u1:t)p(xt−1∣z1:t−1,u1:t)dxt−1 \overline{bel}(x_t) = p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t}) \\ = \int p(x_t|x_{t-1},z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_{t-1}|z_{1:t-1},u_{1:t})d x_{t-1}
最終得到先驗和後驗公式

先驗：
bel‾(xt)=∫p(xt∣xt−1,z1:t−1,u1:t)p(xt−1∣z1:t−1,u1:t)dxt−1 \overline{bel}(x_t) = \int p(x_t|x_{t-1},z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_{t-1}|z_{1:t-1},u_{1:t})d x_{t-1}
後驗：
bel(xt)=ηp(zt∣xt)bel‾(xt) bel(x_t)=\eta p(z_t|x_t)\overline{bel}(x_t)

卡爾曼濾波器推導

根據貝葉斯濾波器帶入線性的模型，推導得到卡爾曼濾波器。

模型

預測方程：
xt=Atxt−1+Btut+ϵt x_t=A_t x_{t-1} + B_t u_t + \epsilon_t
xt=(x1,tx2,t⋮xn,t)ut=(u1,tu2,t⋮um,t) x_{t}=\left(\begin{array}{c} x_{1, t} \\ x_{2, t} \\ \vdots \\ x_{n, t} \end{array}\right) \boldsymbol{u}_{t}=\left(\begin{array}{c} u_{1, t} \\ u_{2, t} \\ \vdots \\ u_{m, t} \end{array}\right)

觀測方程：
zt=Ctxt+δt z_{t}=C_{t} x_{t}+\delta_{t}

預測

根據貝葉斯濾波器的先驗公式
bel‾(xt)=∫p(xt∣xt−1,ut)⏟∼N(xt;Atxt−1+Btut,Rt)bel(xt−1)⏟∼N(xt−1;μt−1,Σt−1)dxt−1\overline{\mathrm{bel}}\left(x_{t}\right)=\int \underbrace{p\left(x_{t} | x_{t-1}, u_{t}\right)}_{\sim N\left(x_{t} ; A_{t} x_{t-1}+B_{t} u_{t}, R_{t}\right)} \underbrace{\mathrm{bel}\left(x_{t-1}\right)}_{\sim N\left(x_{t-1} ; \mu_{t-1}, \Sigma_{t-1}\right)} \mathrm{d} x_{t-1}
其中，t-1時刻bel(xt−1)bel(x_{t-1})的概率分佈爲高斯分佈，均值爲μt−1\mu_{t-1}，方差爲Σt−1\Sigma_{t-1}。

bel‾(xt)=η∫exp{−12(xt−Atxt−1−Btut)TRt−1(xt−Atxt−1−Btut)}exp{−12(xt−1−μt−1)TΣt−1−1(xt−1−μt−1)} \overline{bel}(x_t) = \eta \int exp \left \{ -\frac{1}{2} (x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t)^TR_{t}^{-1}(x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t)\right\}exp\left \{ -\frac{1}{2}(x_{t-1}-\mu_{t-1})^T \Sigma_{t-1}^{-1}(x_{t-1}-\mu_{t-1})\right\}
僅考慮指數部分，記爲bel‾(xt)=η∫exp{−Lt}dxt−1\overline{bel}(x_t)=\eta \int exp\{-L_t \}dx_{t-1},其中
Lt=12(xt−Atxt−1−Btut)TRt−1(xt−Atxt−1−Btut)+12(xt−1−μt−1)TΣt−1−1(xt−1−μt−1) L_t = \frac{1}{2} (x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t)^TR_{t}^{-1}(x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t) + \frac{1}{2}(x_{t-1}-\mu_{t-1})^T \Sigma_{t-1}^{-1}(x_{t-1}-\mu_{t-1})
對於xt−1x_{t-1}的積分的計算則考慮到概率分佈在整個空間中積分爲常數，由於LtL_t是關於$x_{t-1}的二次型，因此關於其的分佈爲高斯分佈。高斯分佈的計算只需要求一階導數爲零即可得到均值，求二階導數得到方差，因此求導如下：

∂Lt∂xt−1=−AtTRt−1(xt−Atxt−1−Btut)+Σt−1−1(xt−1−μt−1) \frac{\partial L_{t}}{\partial x_{t-1}}=-A_t^T R_t^{-1}(x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t) + \Sigma_{t-1}^{-1}(x_{t-1}-\mu_{t-1})
∂2Lt∂xt−12=AtTRt−1At+Σt−1−1=:Ψt−1 \frac{\partial^2 L_{t}}{\partial x_{t-1}^2}=A_t^T R_t^{-1}A_t + \Sigma_{t-1}^{-1} =: \Psi _{t}^{-1}
令一階導數爲零有
AtTRt−1(xt−Atxt−1−Btut)=Σt−1−1(xt−1−μt−1)AtTRt−1xt−AtTRt−1Atxt−1−AtTRt−1Btut=Σt−1−1xt−1−Σt−1−1μt−1AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1=Σt−1−1xt−1+AtTRt−1Atxt−1xt−1=AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At A_t^T R_t^{-1}(x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t) = \Sigma_{t-1}^{-1}(x_{t-1}-\mu_{t-1})\\ A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} A_t x_{t-1}-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t = \Sigma_{t-1}^{-1}x_{t-1}-\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}\\ A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1} = \Sigma_{t-1}^{-1}x_{t-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t x_{t-1}\\ x_{t-1}= \frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}\\
定義二次型函數如下：

Lt(xt−1,xt)=12(xt−1−AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At)TΨ−1(xt−1−AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At) L_t(x_{t-1},x_t)=\frac{1}{2}(x_{t-1}-\frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t})^T\Psi^{-1}(x_{t-1}-\frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t})
有det(2πΨt)12∫exp{Lt(xt,xt−1)}dxt−1=1det(2\pi\Psi_t)^{\frac{1}{2}}\int exp\{L_t(x_t,x_{t-1})\}dx_{t-1}=1,因此只要將原式轉換爲Lt=Lt(xt,xt−1)+Lt(xt)L_t = L_t(x_t,x_{t-1}) + L_t(x_t)即可將積分去掉。
bel‾(xt)=η∫exp{−Lt}dxt−1=η∫exp{−Lt(xt)−Lt(xt,xt−1)}dxt−1=ηexp{−Lt(xt)}∫exp{−Lt(xt,xt−1)}dxt−1=ηexp{−Lt(xt) \overline{bel}(x_t)=\eta \int exp\{-L_t \}dx_{t-1}\\ =\eta \int exp\{-L_t(x_t) -L_t(x_t,x_{t-1}) \}dx_{t-1}\\ =\eta exp\{-L_t(x_t) \}\int exp\{-L_t(x_t,x_{t-1}) \}dx_{t-1}\\ =\eta exp\{-L_t(x_t) \\
因此只需要考慮Lt(xt)L_t(x_t)的分佈即可，由於對於xtx_t是二次型，爲高斯分佈，可以採用求一階導數和二階導數的方法求得其均值和方差。
Lt(xt)=Lt−Lt(xt,xt−1)=12(xt−Atxt−1−Btut)TRt−1(xt−Atxt−1−Btut)+12(xt−1−μt−1)TΣt−1−1(xt−1−μt−1)−12(xt−1−AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At)TΨ−1(xt−1−AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At) L_t(x_t) = L_t - L_t(x_t,x_{t-1})\\ =\frac{1}{2} (x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t)^TR_{t}^{-1}(x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t) + \frac{1}{2}(x_{t-1}-\mu_{t-1})^T \Sigma_{t-1}^{-1}(x_{t-1}-\mu_{t-1}) - \frac{1}{2}(x_{t-1}-\frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t})^T\Psi^{-1}(x_{t-1}-\frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t})
由於該式子的化簡過於繁瑣，就不化簡直接求導數

一階導數：
∂Lt(xt)∂xt=Rt−1(xt−Atxt−1−Btut)+Rt−1AtΣt−1−1+AtTRt−1AtΨ−1(xt−1−AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At)=Rt−1(xt−Atxt−1−Btut)+Rt−1AtΣt−1−1+AtTRt−1At(AtTRt−1At+Σt−1−1)(xt−1−AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At)=Rt−1(xt−Atxt−1−Btut)+Rt−1At(xt−1−AtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At)=Rt−1(xt−Btut)−Rt−1AtAtTRt−1xt−AtTRt−1Btut+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At=Rt−1(xt−Btut)−Rt−1AtAtTRt−1(xt−Btut)+Σt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At=[Rt−1−Rt−1AtTAtRt−1Σt−1−1+AtTRt−1At](xt−Btut)−Rt−1AtΣt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At(求逆定理)=(Rt+AtΣt−1AtT)−1(xt−Btut)−Rt−1AtΣt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At\frac{\partial L_t(x_t)}{\partial x_t} = R_t^{-1} (x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t) + \frac{ R_t^{-1}A_t}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t} \Psi^{-1} (x_{t-1}-\frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t})\\ =R_t^{-1} (x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t) + \frac{ R_t^{-1}A_t}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t} (A_t^T R_t^{-1}A_t + \Sigma_{t-1}^{-1}) (x_{t-1}-\frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t})\\ =R_t^{-1} (x_t-A_t x_{t-1}-B_t u_t) + R_t^{-1} A_t (x_{t-1}-\frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t})\\ =R_t^{-1} (x_t-B_t u_t) -R_t^{-1} A_t \frac{A_t^T R_t^{-1}x_t-A_t^T R_t^{-1} B_t u_t +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}\\ =R_t^{-1} (x_t-B_t u_t) -R_t^{-1} A_t \frac{A_t^T R_t^{-1}(x_t- B_t u_t) +\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}\\ =[R_t^{-1} -R_t^{-1} A_t^T \frac{A_t R_t^{-1} }{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}](x_t- B_t u_t)- R_t^{-1} A_t\frac{\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}(求逆定理)\\ =(R_t + A_t \Sigma_{t-1}A_t^T)^{-1}(x_t- B_t u_t)- R_t^{-1} A_t \frac{\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}\\

二階導數：
∂2Lt(xt)∂xt2=(Rt+AtΣt−1AtT)−1 \frac{\partial^2 L_t(x_t)}{\partial x_t^2}=(R_t + A_t \Sigma_{t-1}A_t^T)^{-1}

當一階導數爲零時
0=(Rt+AtΣt−1AtT)−1(xt−Btut)−Rt−1AtΣt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At(Rt+AtΣt−1AtT)−1(xt−Btut)=Rt−1AtΣt−1−1μt−1Σt−1−1+AtTRt−1At(xt−Btut)=(Rt+AtΣt−1AtT)Rt−1At(Σt−1−1+AtTRt−1At)−1Σt−1−1μt−1(xt−Btut)=(Rt+AtΣt−1AtT)Rt−1At(I+Σt−1AtTRt−1At)−1μt−1(xt−Btut)=(At+AtΣt−1AtTRt−1At)(I+Σt−1AtTRt−1At)−1μt−1(xt−Btut)=At(I+Σt−1AtTRt−1At)(I+Σt−1AtTRt−1At)−1μt−1(xt−Btut)=Atμt−1xt=Atμt−1+Btut 0=(R_t + A_t \Sigma_{t-1}A_t^T)^{-1}(x_t- B_t u_t)- R_t^{-1} A_t \frac{\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}\\ (R_t + A_t \Sigma_{t-1}A_t^T)^{-1}(x_t- B_t u_t)= R_t^{-1} A_t \frac{\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}}{\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t}\\ (x_t- B_t u_t)= (R_t + A_t \Sigma_{t-1}A_t^T) R_t^{-1} A_t (\Sigma_{t-1}^{-1}+A_t^T R_t^{-1} A_t )^{-1}\Sigma_{t-1}^{-1} \mu_{t-1}\\ (x_t- B_t u_t)= (R_t + A_t \Sigma_{t-1}A_t^T) R_t^{-1} A_t(I+\Sigma_{t-1} A_t^T R_t^{-1} A_t )^{-1}\mu_{t-1}\\ (x_t- B_t u_t)= ( A_t + A_t \Sigma_{t-1}A_t^T R_t^{-1} A_t) (I+\Sigma_{t-1} A_t^T R_t^{-1} A_t )^{-1}\mu_{t-1}\\ (x_t- B_t u_t)= A_t ( I + \Sigma_{t-1}A_t^T R_t^{-1} A_t) (I+\Sigma_{t-1} A_t^T R_t^{-1} A_t )^{-1}\mu_{t-1}\\ (x_t- B_t u_t)= A_t \mu_{t-1}\\ x_t= A_t \mu_{t-1} + B_t u_t\\

後驗

根據貝葉斯濾波器的後驗公式
bel⁡(xt)=ηp(zt∣xt)⏟∼N(zt:Ctxt,Qt)bel⁡‾(xt)⏟∼N(xt:μˉt,Σˉt) \operatorname{bel}\left(x_{t}\right)=\eta \underbrace{p\left(z_{t} | x_{t}\right)}_{\sim \mathcal{N}\left(z_{t}: C_{t} x_{t}, Q_{t}\right)} \underbrace{\overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right)}_{\sim \mathcal{N}\left(x_{t}: \bar{\mu}_{t}, \bar{\Sigma}_{t}\right)}

簡化表示爲bel(xt)=ηexp{−Jt}bel(x_t)=\eta exp\{-J_t\},其中
Jt=12(zt−Ctxt)TQ−1(zt−Ctxt)+12(xt−μ‾t)TΣ‾t−1(xt−μ‾t) J_t=\frac{1}{2}(z_t-C_tx_t)^TQ^{-1}(z_t-C_tx_t) + \frac{1}{2}(x_t-\overline{\mu}_t)^T\overline{\Sigma}_t^{-1}(x_t-\overline{\mu}_t)

由於依舊是xtx_t的二次型，即滿足高斯分佈，同樣可以採用求一階導數和二階導數的方法求均值和方差。

一階導數：
∂J∂xt=−CtTQt−1(zt−Ctxt)+Σ‾t−1(xt−μ‾t) \frac{\partial J}{\partial x_t} = -C_t^T Q_t^{-1}(z_t-C_tx_t) + \overline{\Sigma}_t^{-1}(x_t-\overline{\mu}_t)

二階導數：

∂2J∂xt2=CtTQt−1Ct+Σ‾t−1 \frac{\partial^2 J}{\partial x_t^2} = C_t^T Q_t^{-1}C_t+ \overline{\Sigma}_t^{-1}

因此，Σt=(CtTQt−1Ct+Σ‾t−1)−1\Sigma_t = (C_t^T Q_t^{-1}C_t+ \overline{\Sigma}_t^{-1})^{-1}

令一階導數爲零
0=−CtTQt−1(zt−Ctxt)+Σ‾t−1(xt−μ‾t)CtTQt−1(zt−Ctxt)=Σ‾t−1(xt−μ‾t)CtTQt−1zt−CtTQt−1Ctxt=Σ‾t−1xt−Σ‾t−1μ‾t(CtTQt−1Ct+Σ‾t−1)xt=CtTQt−1zt+Σ‾t−1μ‾txt=(CtTQt−1Ct+Σ‾t−1)−1CtTQt−1zt+(CtTQt−1Ct+Σ‾t−1)−1Σ‾t−1μ‾t 0 = -C_t^T Q_t^{-1}(z_t-C_tx_t) + \overline{\Sigma}_t^{-1}(x_t-\overline{\mu}_t)\\ C_t^T Q_t^{-1}(z_t-C_tx_t) = \overline{\Sigma}_t^{-1}(x_t-\overline{\mu}_t)\\ C_t^T Q_t^{-1}z_t-C_t^T Q_t^{-1} C_tx_t = \overline{\Sigma}_t^{-1}x_t-\overline{\Sigma}_t^{-1} \overline{\mu}_t\\ (C_t^T Q_t^{-1} C_t + \overline{\Sigma}_t^{-1})x_t = C_t^T Q_t^{-1}z_t + \overline{\Sigma}_t^{-1} \overline{\mu}_t\\ x_t = (C_t^T Q_t^{-1} C_t + \overline{\Sigma}_t^{-1})^{-1}C_t^T Q_t^{-1}z_t + (C_t^T Q_t^{-1} C_t + \overline{\Sigma}_t^{-1})^{-1} \overline{\Sigma}_t^{-1} \overline{\mu}_t\\
令xt=μ‾t+Kk(zt−Ctμ‾t)x_t = \overline{\mu}_t +K_k(z_t-C_t\overline{\mu}_t),整理得
Kk=CtTQt−1(CtTQt−1Ct+Σ‾t−1)−1 K_k = C_t^T Q_t^{-1}(C_t^T Q_t^{-1} C_t + \overline{\Sigma}_t^{-1})^{-1}
最後將Σt\Sigma_t也用KkK_k來表達，

Σt=(CtTQt−1Ct+Σ‾t−1)−1Σt=(I−CtTQt−1(CtTQt−1Ct+Σ‾t−1)−1Ct)Σ‾tΣt=(I−KkCt)Σ‾t \Sigma_t = (C_t^T Q_t^{-1}C_t+ \overline{\Sigma}_t^{-1})^{-1}\\ \Sigma_t = (I - C_t^T Q_t^{-1}(C_t^T Q_t^{-1} C_t + \overline{\Sigma}_t^{-1})^{-1}C_t )\overline{\Sigma}_t\\ \Sigma_t = (I - K_kC_t )\overline{\Sigma}_t\\
綜上，卡爾曼濾波器的五個公式便推導完畢了。

發表評論
所有評論
還沒有人評論，想成為第一個評論的人麼? 請在上方評論欄輸入並且點擊發布.
相關文章

會計和金融領域的六大技術趨勢

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 至頂網CIO與CTO頻道 08月03日 編譯：數據的爆炸引發了第四次工業革命，在這個時代，業務將因爲網絡物理系統轉變，從而推動了多種技術趨勢

雲棲號資訊小哥 2020-08-04 14:55:49

機器人懂點「常識」後，找東西方便多了：CMU打造新型語義導航AI機器人

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 想讓機器人像人一樣思考，似乎一直是個難題。 例如，讓智(zhi)能(zhang)機器人去客廳拿個遙控器，結果看到機器人在廚房翻箱倒櫃… 好

雲棲號資訊小哥 2020-07-27 14:43:54

皮包批發與AI夢想收割術

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 編者按：本文來自微信公衆號“放大燈”（ID:guokr233），作者：大綿羊、肖滁，編輯：一萌、Danny、普通醬，36氪經授權發佈。 20

雲棲號資訊小哥 2020-07-27 11:40:52

有的活不下去，有的業務劇增，新冠疫情將對物聯網產生哪些深遠影響？

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 毫無疑問，新冠病毒Covid-19對我們的社會和經濟產生了前所未有的影響。大量跡象表明，由於在家辦工對員工的數字化思維產生影響，企業對技術的

雲棲號資訊小哥 2020-07-27 11:37:50

七種工業物聯網的關鍵應用

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 本文整理了物聯網在製造業中的一些關鍵應用，這些應用使用了傳感器、有線和無線連接器等核心產品的構建模塊，同時着眼於這種創新如何幫助製造商轉變其

雲棲號資訊小編 2020-07-23 13:07:50

從看見到聽見，機器人傳感能否解決智能製造檢測的最後一公里難題？

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 導讀 手機、無人機、機器人眼睛裏的隱藏王者，華爲、小米的視覺供應商，這家隱形冠軍現在也開始在機器人行業發力，將延伸人類感官? 華爲、VIV

雲棲號資訊小哥 2020-07-22 14:49:55

走出PPT，智能製造如何真正落地?

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 自18世紀第一次工業革命以來，工業已經走過機械化、 電氣自動化、數字化三個階段。如今，幾乎所有日常生活方式背後都離不開工業的力量。 不過，在

雲棲號資訊小編 2020-07-20 12:04:49

走出PPT，智能製造如何真正落地？

自18世紀第一次工業革命以來，工業已經走過機械化、 電氣自動化、數字化三個階段。如今，幾乎所有日常生活方式背後都離不開工業的力量。 不過，在“效率就是生命”的現代語境裏，留給工業的提升空間還很多，世界各國也都發布過工業轉型計劃，且思路大同小

雲棲號資訊小編 2020-07-17 11:19:47

不懼危險環境，人工智能配網帶電作業機器人勇擔重任

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 時至今日，工業、農業、居民用電量迅速增多，風力發電、水力發電等也成爲了電力供應的主要方式。除了保障電力的穩定輸送外，對電力進行巡檢和搶修也考

雲棲號資訊小哥 2020-07-16 14:35:26

人工智能測溫來“站崗”！無需停留，多人同時測溫

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 在這段時期，“宅”在家裏的人們也不得不面臨定期去超市採購的問題，爲了避免交叉感染，超市不僅採取了一系列消毒措施，在進門處工作人員還用手持式設

雲棲號資訊小哥 2020-07-15 11:58:51

甲骨文：有史以來最偉大的 25 個 Java 應用程序

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 摘要：從太空探索到基因組學，從反向編譯器到機器人控制器，Java 都是當今世界的核心。下面將介紹幾個從衆多 Java 應用程序中脫穎而出的優

雲棲號資訊小哥 2020-07-14 14:58:49

1種策略就能控制多類模型，華人大二學生提出RL泛化方法，LeCun認可轉發 | ICML 2020

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 如果給你幾十甚至幾百種模型，讓你用1種策略對它們進行訓練，怎麼做？ 上圖中的這些智能體模型，不僅僅模擬「人」的動作，有些還代表着「四足

雲棲號資訊小哥 2020-07-14 14:55:57

自然語言處理在當今商業中的八大應用

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 瞭解自然語言處理如何演變爲業務優化的推動者。 基於人工智能的工具現在統治着每個工業部門。有了豐富的社交媒體、組織和數字平臺，產生的數據中不乏

雲棲號資訊小哥 2020-07-14 13:58:54

終於有人把自然語言處理、機器學習、深度學習和AI講明白了

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 導讀：本文將帶你瞭解自然語言處理的概念、應用，以及與機器學習、深度學習和人工智能之間的關係。 01 自然語言處理的基礎知識 爲了便於理解，

雲棲號資訊小哥 2020-07-13 15:35:00

這些“黑科技”讓防汛更智慧

雲棲號資訊：【點擊查看更多行業資訊】在這裏您可以找到不同行業的第一手的上雲資訊，還在等什麼，快來！ 當前，我國南北方全面進入主汛期，強降雨天氣頻發，防汛抗洪已到關鍵階段。 在防汛抗洪中，創新科技成爲利器。從氣象和水情預報到防汛監測與預警;

雲棲號資訊小哥 2020-07-10 13:55:51