在使用動態規劃思想解決的問題中，最常見的是揹包的問題，而在揹包問題中，最簡單的就是0-1揹包。
0-1揹包的問題形式如下：有一揹包，只能裝重量爲V的物品，有n個的物品，這些物體體積爲w，價值爲v，在每個物品最多裝一個的情況下，怎麼裝物品可以讓揹包中的物品價值最大。該問題之所以可以用動態規劃來解決，是由於將“大問題”拆解後的“小問題”存在着依賴關係，並不獨立，這也是動態規劃和分治最大的區別。
在對該問題進行分析之前，可以先定義一些變量，來輔助分析。具體爲：value[ i ]表示第i個物品的價值，weight[ i ]表示第i個物品的體積，dp[ i ][ j ]表示當前揹包容量爲j時，前i個物品最佳組合對應的價值。爲方便分析，設定物品個數爲4，揹包重量限制爲8，示例數據如下：
| 體積(weight) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 價值(value) | 3 | 4 | 5 | 6 |
分析步驟如下：
1、構建一張動態規劃表dp，表的大小爲(物品個數+1)*(揹包重量限制+1)。dp[0][0]-dp[0][物品+1]和dp[0][0]-dp[0][揹包重量限制+1]全爲0，如下：
| 個數/重量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | ||||||||
| 2 | 0 | ||||||||
| 3 | 0 | ||||||||
| 4 | 0 |
2、以dp[ i ][ j ]，即揹包可裝重量爲j，第i個物品的狀態來進行分析。此時可能進行的動作有如下幾種：
1>要裝入物品的重量比揹包可裝的重量要大，此時不能再裝入新物品，即dp[ i ][ j ] = dp[i - 1][ j ];
2>此時能裝下新物品，但具體要不要裝入則需要看是否能達到最大價值，如果達不到，則和不能裝入效果一樣，即 dp[ i ][ j ] = dp[i - 1][ j ]。如果能裝入，則dp[i - 1][j - weight[ i ]] + value[ i ]。
尋找最大價值的過程，就是一個逐行不斷填表的過程，最終填表結果如下：
| 物品/重量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 3 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 9 |
| 4 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Java代碼如下：
int[ ] weight = {0,2,3,4,5}; //商品的重量2、3、4、5
int[ ] value = {0,3,4,5,6}; //商品的價值3、4、5、6
int bagCap = 8; //揹包承受的重量限制
int[ ][ ] dp = new int[weight.length][bagCap+1]; //動態規劃表
//構建動態規劃表
for (int i = 1; i <= weight.length-1; i++) {
for (int j = 1; j <= bagCap; j++) {
if (j < weight[ i ])
dp[ i ][ j ] = dp[i - 1][ j ];
else
dp[ i ][ j ] = Math.max(dp[i - 1][ j ], dp[i - 1][j - weight[ i ]] + value[ i ]);
}
}
//動態規劃表的輸出
for (int i = 0; i < 5; i++) {
for (int j = 0; j < 9; j++) {
System.out.print(dp[ i ][ j ]+" ");
}
System.out.print("\n");
}