一、紅黑樹概述
紅黑樹和我們以前學過的AVL樹類似，都是在進行插入和刪除操作時通過特定操作保持二叉查找樹的平衡，從而獲得較高的查找性能。不過自從紅黑樹出來後，AVL樹就被放到了博物館裏，據說是紅黑樹有更好的效率，更高的統計性能。這一點在我們瞭解了紅黑樹的實現原理後，就會有更加深切的體會。
紅黑樹和AVL樹的區別在於它使用顏色來標識結點的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL樹中的非常嚴格的平衡。學過數據結構的人應該都已經領教過AVL樹的複雜，但AVL樹的複雜比起紅黑樹來說簡直是小巫見大巫，紅黑樹纔是真正的變態級數據結構。
由於STL中的關聯式容器默認的底層實現都是紅黑樹，因此紅黑樹對於後續學習STL源碼還是很重要的，有必要掌握紅黑樹的實現原理和源碼實現。
紅黑樹是AVL樹的變種，紅黑樹通過一些着色法則確保沒有一條路徑會比其它路徑長出兩倍，因而達到接近平衡的目的。所謂紅黑樹，不僅是一個二叉搜索樹，而且必須滿足一下規則：
1、每個節點不是紅色就是黑色。
2、根節點爲黑色。
3、如果節點爲紅色，其子節點必須爲黑色。
4、任意一個節點到到NULL（樹尾端）的任何路徑，所含之黑色節點數必須相同。
上面的這些約束保證了這個樹大致上是平衡的，這也決定了紅黑樹的插入、刪除、查詢等操作是比較快速的。 根據規則4，新增節點必須爲紅色；根據規則3，新增節點之父節點必須爲黑色。當新增節點根據二叉搜索樹的規則到達其插入點時，卻未能符合上述條件時，就必須調整顏色並旋轉樹形，如下圖：
假設我們爲上圖分別插入節點3、8、35、75，根據二叉搜索樹的規則，插入這四個節點後，我們會發現它們都破壞了紅黑樹的規則，因此我們必須調整樹形，也就是旋轉樹形並改變節點的顏色。
二、紅黑樹上結點的插入
在討論紅黑樹的插入操作之前必須要明白，任何一個即將插入的新結點的初始顏色都爲紅色。這一點很容易理解，因爲插入黑點會增加某條路徑上黑結點的數目，從而導致整棵樹黑高度的不平衡。但如果新結點的父結點爲紅色時（如下圖所示），將會違反紅黑樹的性質：一條路徑上不能出現相鄰的兩個紅色結點。這時就需要通過一系列操作來使紅黑樹保持平衡。
爲了清楚地表示插入操作以下在結點中使用“新”字表示一個新插入的結點；使用“父”字表示新插入點的父結點；使用“叔”字表示“父”結點的兄弟結點；使用“祖”字表示“父”結點的父結點。插入操作分爲以下幾種情況：
1、黑父
如下圖所示，如果新節點的父結點爲黑色結點，那麼插入一個紅點將不會影響紅黑樹的平衡，此時插入操作完成。紅黑樹比AVL樹優秀的地方之一在於黑父的情況比較常見，從而使紅黑樹需要旋轉的機率相對AVL樹來說會少一些。
2、紅父
如果新節點的父結點爲紅色，這時就需要進行一系列操作以保證整棵樹紅黑性質。如下圖所示，由於父結點爲紅色，此時可以判定，祖父結點必定爲黑色。這時需要根據叔父結點的顏色來決定做什麼樣的操作。青色結點表示顏色未知。由於有可能需要根結點到新點的路徑上進行多次旋轉操作，而每次進行不平衡判斷的起始點（我們可將其視爲新點）都不一樣。所以我們在此使用一個藍色箭頭指向這個起始點，並稱之爲判定點。
2.1 紅叔
當叔父結點爲紅色時，如下圖所示，無需進行旋轉操作，只要將父和叔結點變爲黑色，將祖父結點變爲紅色即可。但由於祖父結點的父結點有可能爲紅色，從而違反紅黑樹性質。此時必須將祖父結點作爲新的判定點繼續向上（迭代）進行平衡操作。
需要注意的是，無論“父節點”在“叔節點”的左邊還是右邊，無論“新節點”是“父節點”的左孩子還是右孩子，它們的操作都是完全一樣的（其實這種情況包括4種，只需調整顏色，不需要旋轉樹形）。
2.2 黑叔
當叔父結點爲黑色時，需要進行旋轉，以下圖示了所有的旋轉可能：
Case 1:
Case 2:
Case 3:
Case 4:
可以觀察到，當旋轉完成後，新的旋轉根全部爲黑色，此時不需要再向上回溯進行平衡操作，插入操作完成。需要注意，上面四張圖的“叔”、“1”、“2”、“3”結點有可能爲黑哨兵結點。
其實紅黑樹的插入操作不是很難，甚至比AVL樹的插入操作還更簡單些。紅黑樹的插入操作源代碼如下：
三、元素的搜尋
對於一個二叉搜索樹而言，搜尋元素對於其而言可以稱之簡單，下面是尋找RB-tree中是否有鍵值爲k的節點：
// 尋找RBTree中是否存在鍵值爲k的節點
template <class Key, class Value, class KeyOfValue, class Compare, class Alloc>
typename rb_tree<Key, Value, KeyOfValue, Compare, Alloc>::iterator
rb_tree<Key, Value, KeyOfValue, Compare, Alloc>::find(const Key& k) {
link_type y = header; // Last node which is not less than k.
link_type x = root(); // Current node.
while (x != 0)
// key_compare是節點鍵值大小比較函數
if (!key_compare(key(x), k))
// 如果節點x的鍵值大於等於k，則繼續往左子樹查找
y = x, x = left(x); //
else
// 如果節點x的鍵值小於k，則繼續往右子樹查找
x = right(x);
iterator j = iterator(y);
// y的鍵值不小於k，返回的時候需要判斷與k是相等還是小於
return (j == end() || key_compare(k, key(j.node))) ? end() : j;
}
這裏原書中寫的是x大於k的時候向左，但是我理解的是大於等於向左走
即key_compare(key(x), k)表示key（x）小於k爲真。
這裏特別注意：只有當向左走的之前纔會保存當前節點到y中，就是爲了防止漏掉相等的情況。因爲這裏沒有添加相等的時候直接暫停
循環的語句。
（1）當find77的時候，k=77，while循環結束，y=77，x=0，
return時，key_compare(k，key(j.node))爲false，所以返回j也就是y
（2）當find80的時候，x=80，y=80，x=75；
75<80，x=77；
77<80，x=0；while結束。
return時，y=80.
因爲當x>=k的時候會向左走，避免漏掉等於的情況，所以只有向左走的時候記錄y。