流暢閱讀本文的前置條件是：瞭解樹，二叉樹這兩種數據結構。
堆與堆排序
首先要明確：堆排序是指利用大頂堆（或者小頂堆）來實現排序，達到使數據有序的目的。而非是將排序的結果存儲在堆這樣一個數據結構中。
堆
二叉堆：用數組存儲的完全二叉樹，也稱堆。
堆中的元素的存儲特性：下標爲i的元素，其左孩子的下標爲2*i+1，右孩子的下標爲2*i+2。
如下圖所示的存儲在數組中的堆，實質是一個完全二叉樹。
其下標爲0的元素，左孩子(lc)存儲在下標爲1的位置， 右孩子(rc)存儲在下標爲2的位置。
如上圖數組中存儲的完全二叉樹可以用以下樹圖表示：（數節點中存儲的數是數組的下標）
“堆”這個概念很形象的表述了其數據結構。如果覺得不容易理解，可以試着想象一下，在現實生活中，一堆蘋果，肯定是由上至下逐層增多，且中間並無空隙的，因此存儲上用的是空間連續的數組，而非鏈式。而一顆蘋果樹，是有長長的枝杈的，因此，樹的節點間的關係是用引用即指針來實現，可以將指針想象成枝杈，節點想象成果實。
“堆”的概念正是源於堆排序。
“堆”代表的另一個常見概念：垃圾收集存儲機制。
例如在java語言的JVM中，堆內存空間(JavaHeapSpace)就是垃圾回收的主要對象，JVM設計了堆來存儲需要被回收的內存對象數據。
堆頂
即完全二叉樹的根，也即存儲堆數據的數組A的第一個元素A[0]。
小頂堆
小頂堆：完全二叉樹中的每個結點的值都小於或等於者其左右孩子結點的值。因此，根是此樹中的值最小的結點。即A[0]最小。
大頂堆則是每個節點都大於其左右孩子節點，因此根是最大節點。
堆排序
堆排序，就是利用小頂堆或者大頂堆來實現數據的排序。
實現方法（正序-利用小頂堆）：
- 將所有數據分爲兩部分，一部分是已經有序的數據，存儲在數組B中；另一部分是還未排好序的無序數據，存儲在數組A中；
- 在堆排序過程中，對於存儲堆元素的數組A有兩個size，一個是數組本身的size，另一個是有效堆數據個數heap_size。因爲，在排序過程中，有序數組B中元素不斷擴充，而構成堆的無序數據的個數則在不斷減少。也就是說，雖然數組A中，A[0…A.length]可能一直都存儲有數據，但是排序過程中，只有A[0…A.heap_size]中存儲的是堆的有效元素。
- 在未排序時，A.size=A.heap_size； 排序過程中，A.size=A.heap_size + B.size；
- 排序前，所有元素都是無序的，全都存儲在數組A中，這時需要將所有元素構建成小頂堆。
- 取數組A中的堆頂元素（最小值），追加到有序數據即數組B的尾部。
- 每輪取出堆頂元素後，將堆的最後一個有效元素（即完全二叉樹的最後一個節點）放置到堆頂位置（即完全二叉樹的根，也即A[0]），這時堆必然已經不是小頂堆了，那就繼續調整堆，使之成爲一個小頂堆
- 即每輪都從無序數據中取出一個最小值，那麼第一輪取得的是所有元素的最小值，放到有序部分中去；第二輪取得的是無序數據中的最小值，也是所有元素中的次小值，再追加到有序數據尾部，即將次小值追加到了最小值之後，這樣就形成了正序排序。
- 直到剩餘無序元素個數爲1
import static java.lang.System.out;
import java.util.*;
public class HeapSort {
public static void main(String[] args){
// 存儲無序數據的數組，堆元素數組
int [] heapArr = new int[10];
// 隨機生成一些待排序整數
Random r = new Random();
for(int i=0;i<heapArr.length;i++){
heapArr[i] = r.nextInt(100);
}
out.println(Arrays.toString(heapArr));
// 有效堆元素在數組中的的最大下標，即剩餘待排序數據的個數
int heap_size=heapArr.length;
// 將待排序元素構成成小頂堆
createMinTopHeap(heapArr);
out.println(new StringBuffer("構建出的小頂堆：").append(Arrays.toString(heapArr)));
// 存儲有序數據的數組
int [] sortedData = new int[heapArr.length];
for(int i=0;i<heapArr.length-1;i++){
//取堆頂元素,即無序數據中的最小值，追加到有序元素數組中
sortedData[heapArr.length-heap_size]=heapArr[0];
out.println(new StringBuffer("sortedData：").append(Arrays.toString(sortedData)));
//將有效堆元素中的最後一個放到剛被取走的堆頂位置
heapArr[0]=heapArr[heap_size-1];
heap_size--;
//堆頂節點有變化，已經不再是小頂堆，需要再次將其調整爲小頂堆
adjust(heapArr,0,heap_size-1);
}
sortedData[heapArr.length-heap_size]=heapArr[0];
out.println(new StringBuffer("sortedData：").append(Arrays.toString(sortedData)));
for(int i=1;i<sortedData.length;i++){
if(sortedData[i]<sortedData[i-1]) {
out.println("不是有序的數據");
}
}
}
/**
構建小頂堆
*/
static void createMinTopHeap(int [] a){
Objects.requireNonNull(a);
// 從最後一個非葉子節點開始，由下層至上層將所有非葉子節點的子樹調整爲小頂堆
// 最後一個元素（下標爲a.length-1）的父節點，即最後一個非葉子節點
// 根據堆的存儲特性：下標爲i的元素，其左孩子下標爲2*i+1,其右孩子下標爲2*i+2。
// 則有，下標爲n的元素，如果n不能能整除2,則說明其是父節點的左孩子，父節點的下標爲(n-1)/2;否則父節點下標爲(n-2)/2
int lastNodeIdx = a.length-1;
int parentOfLastNode = (lastNodeIdx|1)==0 ? ((lastNodeIdx-2)>>1) : ((lastNodeIdx-1)>>1) ;
for(int i=parentOfLastNode; i>=0; i--){
// 將以此節點爲根的的子樹調整爲小頂堆
adjust(a,i,a.length-1);
}
}
/**
調整堆，使之成爲小頂堆
a 存儲堆元素的數組
r 要調整的子樹的根節點的下標
heap_size 數組中實際有效堆元素的最大下標
*/
static void adjust(int [] a,int r,int heap_size){
if(r==heap_size) return;
// 比較 父、左子、右子 三個節點的大小，找出值最小的的節點下標
int left = 2*r+1;
int right = left+1;
int min = r;
if(left <= heap_size){
min = a[left]<a[r]?left:r;
if(right<=heap_size){
min = a[right]<a[min]?right:min;
}
}
if(min!=r){
// 如果父節點不是最小節點，則交換，使父節點最小
swap(a,min,r);
// 交換後，被交換的子節點的位置上的數據有更新，需要將此節點的子樹重新調整成小頂堆
adjust(a,min,heap_size);
}
}
/**
交換i,j兩個位置中的值
*/
public static void swap(int [] a,int i,int j){
if(i!=j){
int tmp = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=tmp;
}
}
}
優先隊列
堆排序的效率相比插入排序仍然略差，但是堆有另外的高效的用途——優先隊列。
在java中，PriorityQueue類實現了優先隊列。（PriorityQueue實現了Queue接口，有add / remove / element操作，）
優先隊列並不要求在某一時間點，隊列中的所有元素都是有序的。只要求在remove或者element操作時，獲得的是所有元素中的最小值或者最大值。
因此，只需在每次更新隊列時（插入、刪除、修改元素的值），將所有元素構建或者調整爲小頂堆、或者大頂堆，那麼接着進行element / remove時，返回的是數組的第一個元素，即爲最小值或者最大值。