刷题93—动态规划（十）

139.三步问题

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题目描述
三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:

输入：n = 3
输出：4
说明: 有四种走法
示例2:

输入：n = 5
输出：13
提示:

n范围在[1, 1000000]之间

题目分析

1. 定义dp[i]：代表第i阶台阶的走法；
2. 从4阶台阶开始，最后一此走法分别有三种：1阶、2阶或3阶；
3. 因此，状态转移方程：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]；
4. 对结果模1000000007。

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var waysToStep = function(n) {
    let dp = [0,1,2,4];
    for(let i=4; i<=n; i++){
        dp[i] = (dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]) % 1000000007;
    }
    return dp[n];
};

140.剪绳子 II

刷题90—动态规划（七）：剪绳子

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来源：力扣（LeetCode）
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题目描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m] 。请问 k[0]k[1]…*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 1000

题目分析

1. 这个题和 剪绳子 一样的描述，就是数据范围变大了；
2. 在切分绳子的时候，最后一步可以切分成2或3，切分成3后的乘积更大；
3. 因此状态转移方程：dp[i]=dp[i-3]*3；
4. 对结果模1000000007。
   法一：动态规划

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var cuttingRope = function(n) {
    let dp = [];
    dp[1]=1;
    dp[2]=1;
    dp[3]=2;
    dp[4]=4;
    dp[5]=6;
    dp[6]=9;
    for(let i=7;i<=n;i++){
        dp[i]=(dp[i-3]*3)%1000000007;
    }
    return dp[n];
};

法二：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var cuttingRope = function(n) {
    let res = 1;
    if(n == 2) return 1;
    if(n == 3) return 2;
    while(n > 4){
        res = res * 3 % 1000000007;
        n = n-3;
    }
    return res * n % 1000000007;
};