路徑條數/動態規劃

題目描述

棋盤上 $A$ 點有一個過河卒，需要走到目標 $B$ 點。卒行走的規則：可以向下、或者向右。同時在棋盤上 $C$ 點有一個對方的馬，該馬所在的點和所有跳躍一步可達的點稱爲對方馬的控制點。因此稱之爲“馬攔過河卒”。

棋盤用座標表示，$A$ 點 $(0,0)$、$B$ 點 $(n,m)$，同樣馬的位置座標是需要給出的。

現在要求你計算出卒從 $A$ 點能夠到達 $B$ 點的路徑的條數，假設馬的位置是固定不動的，並不是卒走一步馬走一步。

問題解法

遞歸回溯法

即使用DFS算法進行搜索。但由於這樣會對很多點重複訪問，造成算法效率低下，導致有三個測試點提示超時。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int xb,yb,xc,yc;
unsigned long long ans;
bool vis[21][21];	//是否已訪問
void dfs(int x,int y){
	vis[x][y]=1;
	if(x==xb&&y==yb){
		ans++;
		return;
	}
	if(x+1<=xb&&vis[x+1][y]==false) {		
		dfs(x+1,y);
		vis[x+1][y]=0;
	}
	if(y+1<=yb&&vis[x][y+1]==false) {
		dfs(x,y+1);
		vis[x][y+1]=0;
	}	
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&xb,&yb,&xc,&yc);
	int dx[9]={0,-1,-2,-2,-1,1,2,2,1};
	int dy[9]={0,-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};
	for(int i=0;i<9;i++){
		if(xc+dx[i]>=0&&xc+dx[i]<=xb&&yc+dy[i]>=0&&yc+dy[i]<=yb) //避免越界訪問
			vis[xc+dx[i]][yc+dy[i]]=1;
	}
	dfs(0,0);
	printf("%d",ans);
	return 0;
} 

動態規劃

對於任一點(x,y)，能到達它的路徑數爲能到達(x-1,y)及(x,y-1)的路徑數目之和（注意避免越界），這就是狀態轉移方程。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int xb,yb,xc,yc;
bool s[21][21];		//馬防守的位置
unsigned long long dp[21][21];
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&xb,&yb,&xc,&yc);
	int dx[9]={0,-1,-2,-2,-1,1,2,2,1};
	int dy[9]={0,-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};
	for(int i=0;i<9;i++){
		if(xc+dx[i]>=0&&xc+dx[i]<=xb&&yc+dy[i]>=0&&yc+dy[i]<=yb)
			s[xc+dx[i]][yc+dy[i]]=1;
	}
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=xb;i++){
		for(int j=0;j<=yb;j++){
			if(!s[i][j]){
				if(i-1>=0) dp[i][j]+=dp[i-1][j];	//避免越界
				if(j-1>=0) dp[i][j]+=dp[i][j-1];
			}
		}
	}
	printf("%lld",dp[xb][yb]);
	return 0;
} 

小結

求到達某點的路徑數目可使用動態規劃算法，它比搜索算法效率高很多。