Java數據結構之圖與深度優先搜索、廣度優先搜索

原創 这个名字真难起 2020-05-08 05:32

圖基本介紹

爲什麼要有圖：

前面我們學了線性表和樹
線性表侷限於一個直接前驅和一個直接後繼的關係
樹也只能有一個直接前驅也就是父節點
當我們需要表示多對多的關係時， 這裏我們就用到了圖

圖的舉例說明：
圖是一種數據結構，其中結點可以具有零個或多個相鄰元素。兩個結點之間的連接稱爲邊。 結點也可以稱爲頂點。如圖：
在這裏插入圖片描述

圖的常用概念

  1. 頂點(vertex)

  2. 邊(edge)

  3. 路徑

  4. 無向圖：
    在這裏插入圖片描述

  5. 有向圖：
    在這裏插入圖片描述

  6. 帶權圖：在這裏插入圖片描述

圖的表示方式

鄰接矩陣：
鄰接矩陣是表示圖形中頂點之間相鄰關係的矩陣，對於n個頂點的圖而言，矩陣是的row和col表示的是1…n個點。
在這裏插入圖片描述
鄰接表：

  1. 鄰接矩陣需要爲每個頂點都分配n個邊的空間，其實有很多邊都是不存在,會造成空間的一定損失。
  2. 鄰接表的實現只關心存在的邊，不關心不存在的邊。因此沒有空間浪費，鄰接表由數組+鏈表組成。
    在這裏插入圖片描述

圖的深度優先遍歷

圖的深度優先搜索(Depth First Search) ：

  1. 深度優先遍歷，從初始訪問結點出發，初始訪問結點可能有多個鄰接結點，深度優先遍歷的策略就是首先訪問第一個鄰接結點，然後再以這個被訪問的鄰接結點作爲初始結點，訪問它的第一個鄰接結點，可以這樣理解：每次都在訪問完當前結點後首先訪問當前結點的第一個鄰接結點。
  2. 我們可以看到，這樣的訪問策略是優先往縱向挖掘深入，而不是對一個結點的所有鄰接結點進行橫向訪問。
  3. 顯然，深度優先搜索是一個遞歸的過程。

深度優先遍歷算法步驟：

  1. 訪問初始結點v，並標記結點v爲已訪問。
  2. 查找結點v的第一個鄰接結點w。
  3. 若w存在，則繼續執行4，如果w不存在，則回到第1步，將從v的下一個結點繼續。
  4. 若w未被訪問，對w進行深度優先遍歷遞歸（即把w當做另一個v，然後進行步驟123）。
  5. 否則查找結點v的w鄰接結點的下一個鄰接結點爲新的w，轉到步驟3。

代碼實現：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存儲定點集合
	private int[][] edges;// 存儲圖對應的鄰接矩陣
	private int numOfEdges;// 表示邊的數目
	// 定義一個數組，記錄某個頂點是否被訪問
	private boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {

		int n = 5;// 頂點個數
		String[] vertexs = { "A", "B", "C", "D", "E" };
		// 創建圖對象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循環添加頂點
		for (String vertexValue : vertexs) {
			graph.insertVertex(vertexValue);
		}
		// 添加邊
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		// 顯示
		graph.showGraph();

		// 測試dfs
		System.out.println("深度優先遍歷：");
		graph.dfs();
	}

	// 構造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩陣和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>();
		numOfEdges = 0;
		isVisited = new boolean[n];
	}

	// 得到下標爲index節點的第一個鄰接節點的下標j
	// 如果存在就返回對應的下標，否則返回-1
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = index + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根據前一個鄰接節點的下標v2來獲取下一個鄰接節點的下標j
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度優先遍歷算法
	// i第一次就是數字0
	public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		// 首先我們訪問該節點並輸出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + " ");
		// 將該節點設置爲已經訪問過
		isVisited[i] = true;
		// 查找節點i的第一個鄰接節點w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while (w != -1) {// 說明有
			if (!isVisited[w]) {// 如果w節點未被訪問
				dfs(isVisited, w);
			}
			w = getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 對dfs進行一個重載，遍歷我們所有節點，並進行dfs
	public void dfs() {
		// 遍歷所有節點並進行dfs
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 圖的常用方法
	// 返回頂點個數
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到邊的個數
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回頂點i(下標)對應的數據
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2權值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 顯示圖對應的矩陣
	public void showGraph() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 插入節點
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加邊
	/**
	 * @param v1 第一個定點的下標
	 * @param v2 第二個定點的下標
	 * @param weight 兩個頂點間的權值
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
}

結果：

[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
深度優先遍歷：
A B C D E

圖的廣度優先遍歷

廣度優先遍歷基本思想：
圖的廣度優先搜索(Broad First Search) 。
類似於一個分層搜索的過程，廣度優先遍歷需要使用一個隊列以保持訪問過的結點的順序，以便按這個順序來訪問這些結點的鄰接結點。

廣度優先遍歷算法步驟：

  1. 訪問初始結點v並標記結點v爲已訪問。
  2. 結點v入隊列。
  3. 當隊列非空時，繼續執行，否則算法結束。
  4. 出隊列，取得隊頭結點u。
  5. 查找結點u的第一個鄰接結點w。
  6. 若結點u的鄰接結點w不存在，則轉到步驟3；否則循環執行以下三個步驟：
    (1) 若結點w尚未被訪問，則訪問結點w並標記爲已訪問。
    (2) 結點w入隊列 。
    (3) 查找結點u的繼w鄰接結點後的下一個鄰接結點w，轉到步驟6。

代碼實現：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存儲定點集合
	private int[][] edges;// 存儲圖對應的鄰接矩陣
	private int numOfEdges;// 表示邊的數目
	// 定義一個數組，記錄某個頂點是否被訪問
	private boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {

		int n = 8;// 頂點個數
		String[] vertexs = { "A", "B", "C", "D", "E" };
		// 創建圖對象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循環添加頂點
		for (String vertexValue : vertexs) {
			graph.insertVertex(vertexValue);
		}
		// 添加邊
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		// 顯示
		graph.showGraph();

		// 測試bfs
		System.out.println("廣度優先遍歷：");
		graph.bfs();

	}

	// 構造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩陣和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>();
		numOfEdges = 0;
		isVisited = new boolean[n];
	}

	// 得到下標爲index節點的第一個鄰接節點的下標j
	// 如果存在就返回對應的下標，否則返回-1
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = index + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根據前一個鄰接節點的下標v2來獲取下一個鄰接節點的下標j
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 僅對第一個節點進行廣度優先遍歷的方法
	public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
		if(!isVisited[i]) {
			System.out.print(getValueByIndex(i)+" ");
		}
		isVisited[i]=true;
		int w=getFirstNeighbor(i);
		while(w!=-1) {
			if(!isVisited[w]) {
				System.out.print(getValueByIndex(w)+" ");
				isVisited[w] = true;
			}
			w=getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 遍歷所有節點，都進行廣度優先算法
	public void bfs() {
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			bfs(isVisited, i);
		}
	}

	// 圖的常用方法
	// 返回頂點個數
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到邊的個數
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回頂點i(下標)對應的數據
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2權值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 顯示圖對應的矩陣
	public void showGraph() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 插入節點
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加邊
	/**
	 * @param v1 第一個定點的下標
	 * @param v2 第二個定點的下標
	 * @param weight 兩個頂點間的權值
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
}

結果：

[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
廣度優先遍歷：
A B C D E

DNS和BFS的綜合比較

分別用深度優先算法和廣度優先算法遍歷下圖：
在這裏插入圖片描述

  1. 深度優先遍歷順序爲 1->2->4->8->5->3->6->7。
  2. 廣度優先算法的遍歷順序爲：1->2->3->4->5->6->7->8。
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存儲定點集合
	private int[][] edges;// 存儲圖對應的鄰接矩陣
	private int numOfEdges;// 表示邊的數目
	// 定義一個數組，記錄某個頂點是否被訪問
	private static boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {

		int n = 8;// 頂點個數
		String[] vertexs = { "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" };
		// 創建圖對象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循環添加頂點
		for (String vertexValue : vertexs) {
			graph.insertVertex(vertexValue);
		}
		// 添加邊
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);
		graph.insertEdge(3, 7, 1);
		graph.insertEdge(4, 7, 1);
		graph.insertEdge(2, 5, 1);
		graph.insertEdge(2, 6, 1);
		graph.insertEdge(5, 6, 1);

		// 顯示
		graph.showGraph();

		// 測試dfs
		System.out.println("深度優先遍歷：");
		graph.dfs();
		
		System.out.println();
		isVisited = new boolean[n];//清空數組

		// 測試bfs
		System.out.println("廣度優先遍歷：");
		graph.bfs();

	}

	// 構造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩陣和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>();
		numOfEdges = 0;
		isVisited = new boolean[n];
	}

	// 得到下標爲index節點的第一個鄰接節點的下標j
	// 如果存在就返回對應的下標，否則返回-1
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = index + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根據前一個鄰接節點的下標v2來獲取下一個鄰接節點的下標j
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度優先遍歷算法
	// i第一次就是0
	public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		// 首先我們訪問該節點並輸出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + " ");
		// 將該節點設置爲已經訪問過
		isVisited[i] = true;
		// 查找節點i的第一個鄰接節點w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while (w != -1) {// 說明有
			if (!isVisited[w]) {// 如果w節點未被訪問
				dfs(isVisited, w);
			}
			w = getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 對dfs進行一個重載，遍歷我們所有節點，並進行dfs
	public void dfs() {
		// 遍歷所有節點並進行dfs
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 僅對第一個節點進行廣度優先遍歷的方法
	public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
		if(!isVisited[i]) {
			System.out.print(getValueByIndex(i)+" ");
		}
		isVisited[i]=true;
		int w=getFirstNeighbor(i);
		while(w!=-1) {
			if(!isVisited[w]) {
				System.out.print(getValueByIndex(w)+" ");
				isVisited[w] = true;
			}
			w=getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 遍歷所有節點，都進行廣度優先算法
	public void bfs() {
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			bfs(isVisited, i);
		}
	}

	// 圖的常用方法
	// 返回頂點個數
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到邊的個數
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回頂點i(下標)對應的數據
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2權值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 顯示圖對應的矩陣
	public void showGraph() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 插入節點
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加邊
	/**
	 * @param v1 第一個定點的下標
	 * @param v2 第二個定點的下標
	 * @param weight 兩個頂點間的權值
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
}

結果：

[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
深度優先遍歷：
1 2 4 8 5 3 6 7 
廣度優先遍歷：
1 2 3 4 5 6 7 8
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