Java数据结构之图与深度优先搜索、广度优先搜索

原創 这个名字真难起 2020-05-08 05:32

图基本介绍

为什么要有图：

前面我们学了线性表和树
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
树也只能有一个直接前驱也就是父节点
当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图

图的举例说明：
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
在这里插入图片描述

图的常用概念

  1. 顶点(vertex)

  2. 边(edge)

  3. 路径

  4. 无向图：
    在这里插入图片描述

  5. 有向图：
    在这里插入图片描述

  6. 带权图：在这里插入图片描述

图的表示方式

邻接矩阵：
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。
在这里插入图片描述
邻接表：

  1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失。
  2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。
    在这里插入图片描述

图的深度优先遍历

图的深度优先搜索(Depth First Search) ：

  1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
  2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
  3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程。

深度优先遍历算法步骤：

  1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
  2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
  3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
  4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
  5. 否则查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点为新的w，转到步骤3。

代码实现：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存储定点集合
	private int[][] edges;// 存储图对应的邻接矩阵
	private int numOfEdges;// 表示边的数目
	// 定义一个数组，记录某个顶点是否被访问
	private boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {

		int n = 5;// 顶点个数
		String[] vertexs = { "A", "B", "C", "D", "E" };
		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环添加顶点
		for (String vertexValue : vertexs) {
			graph.insertVertex(vertexValue);
		}
		// 添加边
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		// 显示
		graph.showGraph();

		// 测试dfs
		System.out.println("深度优先遍历：");
		graph.dfs();
	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>();
		numOfEdges = 0;
		isVisited = new boolean[n];
	}

	// 得到下标为index节点的第一个邻接节点的下标j
	// 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = index + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接节点的下标v2来获取下一个邻接节点的下标j
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度优先遍历算法
	// i第一次就是数字0
	public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		// 首先我们访问该节点并输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + " ");
		// 将该节点设置为已经访问过
		isVisited[i] = true;
		// 查找节点i的第一个邻接节点w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while (w != -1) {// 说明有
			if (!isVisited[w]) {// 如果w节点未被访问
				dfs(isVisited, w);
			}
			w = getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 对dfs进行一个重载，遍历我们所有节点，并进行dfs
	public void dfs() {
		// 遍历所有节点并进行dfs
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 图的常用方法
	// 返回顶点个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到边的个数
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回顶点i(下标)对应的数据
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 插入节点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * @param v1 第一个定点的下标
	 * @param v2 第二个定点的下标
	 * @param weight 两个顶点间的权值
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
}

结果：

[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
深度优先遍历：
A B C D E

图的广度优先遍历

广度优先遍历基本思想：
图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

广度优先遍历算法步骤：

  1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
  2. 结点v入队列。
  3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
  4. 出队列，取得队头结点u。
  5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
  6. 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
    (1) 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
    (2) 结点w入队列 。
    (3) 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

代码实现：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存储定点集合
	private int[][] edges;// 存储图对应的邻接矩阵
	private int numOfEdges;// 表示边的数目
	// 定义一个数组，记录某个顶点是否被访问
	private boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {

		int n = 8;// 顶点个数
		String[] vertexs = { "A", "B", "C", "D", "E" };
		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环添加顶点
		for (String vertexValue : vertexs) {
			graph.insertVertex(vertexValue);
		}
		// 添加边
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		// 显示
		graph.showGraph();

		// 测试bfs
		System.out.println("广度优先遍历：");
		graph.bfs();

	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>();
		numOfEdges = 0;
		isVisited = new boolean[n];
	}

	// 得到下标为index节点的第一个邻接节点的下标j
	// 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = index + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接节点的下标v2来获取下一个邻接节点的下标j
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 仅对第一个节点进行广度优先遍历的方法
	public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
		if(!isVisited[i]) {
			System.out.print(getValueByIndex(i)+" ");
		}
		isVisited[i]=true;
		int w=getFirstNeighbor(i);
		while(w!=-1) {
			if(!isVisited[w]) {
				System.out.print(getValueByIndex(w)+" ");
				isVisited[w] = true;
			}
			w=getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 遍历所有节点，都进行广度优先算法
	public void bfs() {
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			bfs(isVisited, i);
		}
	}

	// 图的常用方法
	// 返回顶点个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到边的个数
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回顶点i(下标)对应的数据
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 插入节点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * @param v1 第一个定点的下标
	 * @param v2 第二个定点的下标
	 * @param weight 两个顶点间的权值
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
}

结果：

[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
广度优先遍历：
A B C D E

DNS和BFS的综合比较

分别用深度优先算法和广度优先算法遍历下图：
在这里插入图片描述

  1. 深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7。
  2. 广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8。
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;// 存储定点集合
	private int[][] edges;// 存储图对应的邻接矩阵
	private int numOfEdges;// 表示边的数目
	// 定义一个数组，记录某个顶点是否被访问
	private static boolean[] isVisited;

	public static void main(String[] args) {

		int n = 8;// 顶点个数
		String[] vertexs = { "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" };
		// 创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		// 循环添加顶点
		for (String vertexValue : vertexs) {
			graph.insertVertex(vertexValue);
		}
		// 添加边
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);
		graph.insertEdge(3, 7, 1);
		graph.insertEdge(4, 7, 1);
		graph.insertEdge(2, 5, 1);
		graph.insertEdge(2, 6, 1);
		graph.insertEdge(5, 6, 1);

		// 显示
		graph.showGraph();

		// 测试dfs
		System.out.println("深度优先遍历：");
		graph.dfs();
		
		System.out.println();
		isVisited = new boolean[n];//清空数组

		// 测试bfs
		System.out.println("广度优先遍历：");
		graph.bfs();

	}

	// 构造器
	public Graph(int n) {
		// 初始化矩阵和vertexList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>();
		numOfEdges = 0;
		isVisited = new boolean[n];
	}

	// 得到下标为index节点的第一个邻接节点的下标j
	// 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
	public int getFirstNeighbor(int index) {
		for (int j = index + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[index][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 根据前一个邻接节点的下标v2来获取下一个邻接节点的下标j
	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
			if (edges[v1][j] > 0) {
				return j;
			}
		}
		return -1;
	}

	// 深度优先遍历算法
	// i第一次就是0
	public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
		// 首先我们访问该节点并输出
		System.out.print(getValueByIndex(i) + " ");
		// 将该节点设置为已经访问过
		isVisited[i] = true;
		// 查找节点i的第一个邻接节点w
		int w = getFirstNeighbor(i);
		while (w != -1) {// 说明有
			if (!isVisited[w]) {// 如果w节点未被访问
				dfs(isVisited, w);
			}
			w = getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 对dfs进行一个重载，遍历我们所有节点，并进行dfs
	public void dfs() {
		// 遍历所有节点并进行dfs
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			if (!isVisited[i]) {
				dfs(isVisited, i);
			}
		}
	}

	// 仅对第一个节点进行广度优先遍历的方法
	public void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
		if(!isVisited[i]) {
			System.out.print(getValueByIndex(i)+" ");
		}
		isVisited[i]=true;
		int w=getFirstNeighbor(i);
		while(w!=-1) {
			if(!isVisited[w]) {
				System.out.print(getValueByIndex(w)+" ");
				isVisited[w] = true;
			}
			w=getNextNeighbor(i, w);
		}
	}

	// 遍历所有节点，都进行广度优先算法
	public void bfs() {
		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
			bfs(isVisited, i);
		}
	}

	// 图的常用方法
	// 返回顶点个数
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	// 得到边的个数
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回顶点i(下标)对应的数据
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	// 返回v1和v2权值
	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	// 显示图对应的矩阵
	public void showGraph() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	// 插入节点
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	// 添加边
	/**
	 * @param v1 第一个定点的下标
	 * @param v2 第二个定点的下标
	 * @param weight 两个顶点间的权值
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
}

结果：

[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
深度优先遍历：
1 2 4 8 5 3 6 7 
广度优先遍历：
1 2 3 4 5 6 7 8
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