最近開始看Redis設計原理，碰到一個從未遇見的數據結構：跳躍表(skiplist)。於是花時間學習了跳錶的原理，並用java對其實現。
主要參考以下兩本書：
- 《Redis設計與實現》跳錶部分：主要介紹跳錶在Redis中如何實現；
- 《算法：C語言實現（第1~4部分）》的13.5節：介紹跳錶的算法。
介紹
跳躍表是一種有序數據結構，它通過每個結點中維持多個指向其它結點的指針，從而達到快速訪問結點的目的。
我們平時熟知的鏈表，查找效率爲O(N)。跳錶在鏈表的基礎上，每個結點中維護了很多指向其它結點的指針，大大縮短時間複雜度。可以實現時間複雜度平均O(logN)，最壞O(N)。後文會有具體的分析和計算。
一個跳躍表示意圖：
由左至右依次是，跳躍表結構結點(存儲跳錶信息)、頭結點、連續的跳錶結點。
最外層的跳錶字段結構如下所示：
public class SkipList<T extends Comparable<? super T>> {
//首尾結點的指針
private SkipListNode<T> header;
private SkipListNode<T> tail;
//記錄跳錶中結點數量
private long length;
//最大結點的層數
private int level;
//...
}
跳錶節點
跳錶節點記爲SkipListNode，內部字段結構如下：
class SkipListNode <T> {
//索引層
private SkipListLevel[] level;
//後退指針
private SkipListNode<T> backword;
//分值
private double score;
//成員對象
private T obj;
//......
}
- 索引層數組：多個索引層組成的數組，每個元素包含一個指向其它節點的指針。通過這些指針的訪問來加快查找速度。
- 後退指針：指向前一個節點；
- 分值：是一個浮點數，跳錶中所有節點都按照分值從小到大來排序；
- 成員對象：即指向具體的數據對象。
索引層
索引層SkipListLevel的結構如下：
class SkipListLevel{
//前進指針
private SkipListNode forward;
//跨度
private int span;
//......
}
- 前進指針：指向後續節點；
- 跨度：與指向的節點之間的距離。譬如，相鄰節點距離就是1。
到這裏，我們對跳錶的基本結構有了一個清晰的認識。
理想的跳錶
這裏想先講講理想狀態的跳錶，不然無法理解實際跳錶爲什麼可以縮減時間複雜度。
跳錶節點間的關聯方式：（索引層中的前向指針）第一層逐個鏈接，第二層每隔t個節點進行鏈接，第三層每隔2*t個節點進行鏈接，不斷迭代。這裏取t=2，畫出每個節點的索引層之間的關聯關係，得到如下圖形式的鏈式結構：
有點像完全二叉樹的結構。因此很容易理解：節點總數爲N時，層最大高度爲1+logN。例如圖中有8個節點，最大層高爲4。
搜索規則：從頭結點的索引層的末端開始向下遍歷。如果第K層的下一節點小於target，則移到該節點；若不小於，則下移到第K-1層。
按照此搜索規則，假設需要查找的target爲7a，則搜索路徑爲0d--8d--0c--4c--4b--6b--6a--7a，如下圖所示：
上述過程中，分別在8d、4c、6b、7a處進行比較。可見每一層都比較了一次，所以比較次數等於層數，爲logN+1。所以時間複雜度爲O(logN)。
如果實際的跳錶按照這種形式進行設計，每次插入節點時，需要對很多結點的索引層進行調整，節點的插入刪除將成爲極其複雜的工作。因此，實際的跳錶使用一種基於概率統計的算法，簡化插入刪除帶來的調整工作，同時也能得到O(logN)的時間複雜度。
實際的跳錶
每當需要新增一個節點時，需要考慮如何確定該節點的索引層層數，即SkipListLevel[]數組的長度。
如何確定“層”的高度？
在redis中，每次創建一個節點，都會根據冪次定律隨機生成一個介於1和32之間的值作爲索引層的高度。問題是，這個隨機的過程如何設計？
我們觀察理想狀態跳錶，可以發現，不算頭節點總共8個節點，其中4個節點擁有2層索引，2個節點擁有3層索引，1個節點擁有4層索引。
可以近似看作滿足這樣的規律：節點索引層高度爲 j 的概率爲 1/2^j。因此每次生成新節點時，通過這樣的概率計算可以得到索引層層數。代碼如下所示：
/**
* 獲取隨機的層高度
* @return
*/
private int getRandomHeight() {
Random random = new Random();
int i = 1;
for (; i < 32; ++i) {
if (random.nextInt(2) == 0) {
break;
}
}
return i;
}
注意：在redis中最大索引高度不超過32
爲什麼時間複雜度平均O(logN)，最壞O(N)？
當節點數量足夠多時，這種方式得到的跳躍表形態可以逼近理想的跳錶的。很慚愧我不知道怎麼證明，學過概率統計的同學一定很容易理解。它的時間複雜度就是近似爲 O(logN) 。當然也有不理想的情況，當跳錶中每一個節點隨機得到的層高度都是 1 時，跳錶就是一個普通雙向鏈表，時間複雜度爲 O(N) 。因此，時間複雜度平均O(logN)、最壞O(N)，這種說法是比較嚴謹的。
節點的分值
這個分值 score 很容易與節點的“跨度”混淆。跨度其實就是節點在跳錶中的排位，或者說序號。而分值是一個節點屬性。節點按照分值大小由小到大排列，不同節點的分值可以相等。如果分值相等，對象較大的會排在後面(靠近表尾方向)。
在實際API應用中，需要以分值和obj成員對象作爲target進行查詢、插入等操作。
跳躍表的插入-代碼實現
流程如下：
- 按照冪次定律獲取隨機數，作爲索引層的高度levelHeight，實例化新節點target；
- 設置一個SkipListNode類型的數組，update[]（記錄所有需要進行調整的前置位節點，包括需要調整forword、或者只需要修改span值的節點），update[]的大小爲max(levelHeight,maxLevelHeight);
- 設置int數組rank[]，記錄update[]數組中各個對應節點的排位
- 遍歷 update[] 進行插入和更新操作；根據update[]獲取插入位置節點，進行插入；根據rank[]來輔助更新跨度值span。
實際代碼比上述流程要複雜很多，levelHeight與maxLevelHeight的大小關係不能確定，根據不同的情況要對update[]進行不同的處理。
跳躍表插入的代碼如下所示：
注意：是依據score大小和obj的大小來決定插入順序
public SkipListNode slInsert(double score, T obj) {
int levelHeight = getRandomHeight();
SkipListNode<T> target = new SkipListNode<>(obj, levelHeight, score);
// update[i] 記錄所有需要進行調整的前置位節點
SkipListNode[] update = new SkipListNode[Math.max(levelHeight, maxLevel)];
int[] rank = new int[update.length];//記錄每一個update節點的排位
int i = update.length - 1;
if (levelHeight > maxLevel) {
for (; i >= maxLevel; --i) {
update[i] = header;
rank[i] = 0;
}
maxLevel = levelHeight;
}
for (; i >= 0; --i) {
SkipListNode<T> node = header;
SkipListNode<T> next = node.getLevel()[i].getForward();
rank[i] = 0;
//遍歷得到與target最接近的節點(左側)
while (next != null && (score > next.getScore() || score == next.getScore() && next.getObj().compareTo(obj) < 0)) {
rank[i] += node.getLevel()[i].getSpan();
node = next;
next = node.getLevel()[i].getForward();
}
update[i] = node;
}
//當maxLevel>levelHeight，前面部分節點的span值加1，因爲該節點與forword指向節點之間將要 多出來一個新節點
for (i = update.length - 1; i >= levelHeight; --i) {
int span = update[i].getLevel()[i].getSpan();
update[i].getLevel()[i].setSpan(++span);
}
//遍歷 update[] 進行插入和更新操作
for (; i >= 0; --i) {
SkipListLevel pre = update[i].getLevel()[i];
//將target節點插入update[i]和temp之間
SkipListNode<T> temp = pre.getForward();
int span = pre.getSpan();
pre.setForward(target);
pre.setSpan(rank[0] + 1 - rank[i]);
target.getLevel()[i].setSpan(span > 0 ? (span - rank[0] + rank[i]) : 0);
target.getLevel()[i].setForward(temp);
//設置後退指針
if (temp == null) {
target.setBackword(header);
} else {
target.setBackword(temp.getBackword());
temp.setBackword(target);
}
}
if (tail.getLevel()[0].getForward() != null) {
tail = target;
}
length++;
return target;
}
本篇博客介紹了跳躍表基本原理，並使用java完成了基本數據結構的封裝，實現了節點插入操作。後續博客會陸續記錄“刪除”、“搜索”等功能的實現。