這是大一下離散數學筆記的最後一章。圖論等知識在大二上教授。
運算的定義A × A A\times A A × A A A A A n A^n A n A A A f ( < x 1 , x 2 … … x n > ) f(<x_1,x_2……x_n>) f ( < x 1 , x 2 … … x n > ) f ( x 1 , x 2 … … x n ) f(x_1,x_2……x_n) f ( x 1 , x 2 … … x n )
運算的封閉性 A A A A n A^n A n B B B A A A n n n 運算 。如果 B ⊆ A B\subseteq A B ⊆ A n n n 封閉的 。∀ x 1 , x 2 , … … x n ∈ S \forall x_1,x_2,……x_n \in S ∀ x 1 , x 2 , … … x n ∈ S f ( x 1 , x 2 , … … , x n ) ∈ S f(x_1,x_2,……,x_n)\in S f ( x 1 , x 2 , … … , x n ) ∈ S S S S f f f
比如，自然數集對實數集上的減法不封閉。
運算律
交換律∗ * ∗ A A A x , y ∈ A x,y\in A x , y ∈ A x ∗ y = y ∗ x x*y=y*x x ∗ y = y ∗ x ∗ * ∗ A A A 可交換的 。
結合律∗ * ∗ A A A x , y , z ∈ A x,y,z\in A x , y , z ∈ A ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) (x*y)*z=x*(y*z) ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) ∗ * ∗ A A A 可結合的 。
分配律∗ , △ *,\triangle ∗ , △ A A A x , y , z ∈ A x,y,z\in A x , y , z ∈ A x ∗ ( y △ z ) = ( x ∗ y ) △ ( x ∗ z ) （ 1 ） ( y △ z ) ∗ x = ( y ∗ x ) △ ( z ∗ x ) （ 2 ） x*(y\triangle z)=(x*y)\triangle(x*z)（1）\\(y\triangle z)*x=(y* x)\triangle(z*x)（2） x ∗ ( y △ z ) = ( x ∗ y ) △ ( x ∗ z ) （ 1 ） ( y △ z ) ∗ x = ( y ∗ x ) △ ( z ∗ x ) （ 2 ） ∗ * ∗ △ \triangle △ 可分配的 。∗ * ∗ △ \triangle △ 左可分配 。∗ * ∗ △ \triangle △ 右可分配 。
消去律∗ * ∗ A A A x , y , z ∈ A x,y,z\in A x , y , z ∈ A i f x ∗ y = x ∗ z , t h e n y = z i f y ∗ x = z ∗ x , t h e n y = z if \,\ x*y=x*z,then \,\ y=z \\ if \,\ y*x = z*x,then \,\ y=z i f x ∗ y = x ∗ z , t h e n y = z i f y ∗ x = z ∗ x , t h e n y = z ∗ * ∗ 左消去律 ，右消去律 。
吸收律∗ , △ *,\triangle ∗ , △ A A A x , y ∈ A x,y\in A x , y ∈ A x ∗ ( x △ y ) = x x △ ( x ∗ y ) = x
x*(x\triangle y)=x\\x\triangle (x*y)=x
x ∗ ( x △ y ) = x x △ ( x ∗ y ) = x ∗ * ∗ △ \triangle △ 吸收律 。
運算表A = { a 1 , a 2 , … … a n } A=\{a_1,a_2,……a_n \} A = { a 1 , a 2 , … … a n } ∗ * ∗ A A A ∗ * ∗
定義 A A A f 1 , f 2 , ⋯ , f k f_1,f_2,\cdots,f_k f 1 , f 2 , ⋯ , f k 代數系統 ，記作 ⟨ A , f 1 , f 2 , ⋯ , f k ⟩ \langle A,f_1,f_2,\cdots,f_k\rangle ⟨ A , f 1 , f 2 , ⋯ , f k ⟩
子代數 < A , ∗ > <A,*> < A , ∗ > S ⊆ A S \subseteq A S ⊆ A S S S ∗ * ∗ < S , ∗ > <S,*> < S , ∗ > < A , ∗ > <A,*> < A , ∗ >
單位元
定義：∗ * ∗ A A A e l ∈ A e_l\in A e l ∈ A x ∈ A x\in A x ∈ A e l ∗ x = x e_l*x=x e l ∗ x = x e l e_l e l A A A ∗ * ∗ 左單位元 ；如果有一個元素 e r ∈ A e_r\in A e r ∈ A x ∈ A x\in A x ∈ A x ∗ e r = x x*e_r=x x ∗ e r = x e r e_r e r A A A ∗ * ∗ 右單位元 ；如果 A A A e e e e e e A A A ∗ * ∗ 單位元 。
定理1∗ * ∗ A A A A A A ∗ * ∗ e l e_l e l e r e_r e r e l = e r = e e_l=e_r=e e l = e r = e
定理2A A A
逆元
定義：⟨ A , ∗ ⟩ \langle A,* \rangle ⟨ A , ∗ ⟩ ∗ * ∗ A A A e e e A A A ∗ * ∗ A A A a a a A A A b b b b ∗ a = e b*a=e b ∗ a = e b b b a a a 左逆元 ；如果 a ∗ b = e a*b=e a ∗ b = e b b b a a a 右逆元 ；如果一個元素 b b b a a a a a a b b b a a a 逆元 。記一個元素 x x x x − 1 x^{-1} x − 1
定理1：
定理2：⟨ A , ∗ ⟩ \langle A,* \rangle ⟨ A , ∗ ⟩ ∗ * ∗ A A A A A A e e e 如果 ∗ * ∗ ，那麼，這個代數系統中任何一個元素的左逆元必定也是該元素的右逆元，且每個元素的逆元是唯一的。∗ * ∗ 證明： a , b , c ∈ A a,b,c\in A a , b , c ∈ A b b b a a a c c c b b b e = c ∗ b = c ∗ ( ( b ∗ a ) ∗ b ) = ( ( c ∗ b ) ∗ a ) ∗ b = a ∗ b e=c*b=c*((b*a)*b)=((c*b)*a)*b=a*b e = c ∗ b = c ∗ ( ( b ∗ a ) ∗ b ) = ( ( c ∗ b ) ∗ a ) ∗ b = a ∗ b b b b a a a a a a b , c b,c b , c b = b ∗ e = b ∗ ( a ∗ c ) = ( b ∗ a ) ∗ c = c b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=c b = b ∗ e = b ∗ ( a ∗ c ) = ( b ∗ a ) ∗ c = c a a a
冪等元 ⟨ A , ∗ ⟩ \langle A,* \rangle ⟨ A , ∗ ⟩ a ∈ A a\in A a ∈ A a ∗ a = a a*a=a a ∗ a = a a a a A A A
同態的定義 ⟨ A , ★ ⟩ \langle A,\bigstar\rangle ⟨ A , ★ ⟩ ⟨ B , ∗ ⟩ \langle B,*\rangle ⟨ B , ∗ ⟩ ★ \bigstar ★ ∗ * ∗ A A A B B B n n n f f f A A A B B B a 1 , a 2 ∈ A a_1,a_2\in A a 1 , a 2 ∈ A f ( a 1 ★ a 2 ) = f ( a 1 ) ∗ f ( a 2 ) f(a_1\bigstar a_2)=f(a_1)*f(a_2) f ( a 1 ★ a 2 ) = f ( a 1 ) ∗ f ( a 2 ) f f f ⟨ A , ★ ⟩ \langle A,\bigstar\rangle ⟨ A , ★ ⟩ ⟨ B , ∗ ⟩ \langle B,*\rangle ⟨ B , ∗ ⟩ 同態映射 （也稱f f f 保持運算 ），稱 ⟨ A , ★ ⟩ \langle A,\bigstar\rangle ⟨ A , ★ ⟩ ⟨ B , ∗ ⟩ \langle B,*\rangle ⟨ B , ∗ ⟩ ⟨ f ( A ) , ∗ ⟩ \langle f(A),*\rangle ⟨ f ( A ) , ∗ ⟩ ⟨ A , ★ ⟩ \langle A,\bigstar\rangle ⟨ A , ★ ⟩ 同態象 。其中 f ( A ) = { x ∣ x = f ( a ) , a ∈ A } ⊆ B f(A)=\{x\vert x=f(a),a\in A\}\subseteq B f ( A ) = { x ∣ x = f ( a ) , a ∈ A } ⊆ B
同態 實質上是一個映射或函數f f f
滿同態 f f f ⟨ A , ★ ⟩ \langle A,\bigstar\rangle ⟨ A , ★ ⟩ ⟨ B , ∗ ⟩ \langle B,*\rangle ⟨ B , ∗ ⟩ f f f A A A B B B f f f 滿同態 ，記爲：記作 A ∼ B A\sim B A ∼ B
單同態 f f f A A A B B B f f f 單同態 ；
同構映射 f f f A A A B B B f f f 同構映射 ，並稱 ⟨ A , ★ ⟩ \langle A,\bigstar\rangle ⟨ A , ★ ⟩ ⟨ B , ∗ ⟩ \langle B,*\rangle ⟨ B , ∗ ⟩ 同構 的，記作 A ≅ B A\cong B A ≅ B
自同態 ⟨ A , ∗ ⟩ \langle A,*\rangle ⟨ A , ∗ ⟩ f f f ⟨ A , ∗ ⟩ \langle A,*\rangle ⟨ A , ∗ ⟩ ⟨ A ， ∗ ⟩ \langle A，*\rangle ⟨ A ， ∗ ⟩ f f f 自同態 。如果 g g g ⟨ A , ∗ ⟩ \langle A,*\rangle ⟨ A , ∗ ⟩ ⟨ A , ∗ ⟩ \langle A,*\rangle ⟨ A , ∗ ⟩ f f f 自同構 。
一些定理
設f 、 g f、g f 、 g f 、 g f、g f 、 g g ∘ f g\circ f g ∘ f
同構映射的逆映射仍是保持運算的雙射。
滿同態保持結合律。
滿同態保持交換律。
滿同態保持單位元。
滿同態保持逆元。
同態保持冪等元。
代數系統的直積 < A , ∗ > , < B , ∘ > <A,*>,<B,\circ > < A , ∗ > , < B , ∘ > < A × B , △ > <A\times B,\triangle > < A × B , △ > A × B A\times B A × B A 、 B A、B A 、 B △ \triangle △ ∀ < x , y > , < u , v > ∈ A × B ， < x , y > △ < u , v > = < x ∗ u , y ∘ v > \forall <x,y>,<u,v> \in A\times B，<x,y>\triangle<u,v> =<x*u,y\circ v> ∀ < x , y > , < u , v > ∈ A × B ， < x , y > △ < u , v > = < x ∗ u , y ∘ v > 一個重要的定理
半羣 ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ S S S ∗ * ∗ S S S ∗ * ∗ ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ 半羣 。
子半羣 ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ B ⊆ S B\subseteq S B ⊆ S ∗ * ∗ B B B ⟨ B , ∗ ⟩ \langle B,* \rangle ⟨ B , ∗ ⟩ ⟨ B , ∗ ⟩ \langle B,* \rangle ⟨ B , ∗ ⟩ ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ 子半羣 。
幺半羣 幺半羣、1半羣、獨異點
子幺半羣 S S S 幺半羣 ，若T T T 子半羣 ,且S S S e ∈ T e\in T e ∈ T 單位元用一個 )，則稱T T T S S S 子幺半羣 。
羣的定義 ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ G G G ∗ * ∗ G G G ∗ * ∗ 可結合 的。單位元 e e e x ∈ G x\in G x ∈ G 逆元 x − 1 x^{-1} x − 1 ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ 羣 。
換言之：
羣的階數 ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ G G G ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ 有限羣 ， G G G 階數 ，記爲 ∣ G ∣ \vert G \vert ∣ G ∣ G G G ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ 無限羣 。
注意：與集合的元素的個數爲基數 的區別。
Abel羣 ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ ∗ * ∗ 阿貝爾羣 ，或稱交換羣 。Abel羣 ，纔有( a b ) n = a n b n (ab)^n=a^nb^n ( a b ) n = a n b n
羣中必滿足消去律 ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ a , b , c ∈ G a,b,c\in G a , b , c ∈ G a ∗ b = a ∗ c a*b=a*c a ∗ b = a ∗ c b ∗ a = c ∗ a b*a=c*a b ∗ a = c ∗ a b = c b=c b = c 消去律 ）。
冪等元唯一存在 e e e
設< G ， ∗ > . < H , ∘ > <G，*>.<H,\circ> < G ， ∗ > . < H , ∘ > f f f G G G H H H e e e G G G f ( e ) f(e) f ( e ) H H H ∀ a ∈ G \forall a\in G ∀ a ∈ G f ( a ) − 1 = f ( a − 1 ) f(a)^{-1}=f(a^{-1}) f ( a ) − 1 = f ( a − 1 )
簡證：f ( e ) = f ( e ∗ e ) = f ( e ) ∘ f ( e ) f(e)=f(e*e)=f(e)\circ f(e) f ( e ) = f ( e ∗ e ) = f ( e ) ∘ f ( e ) f ( e ) f(e) f ( e ) f ( e ) f(e) f ( e )
注意：逆元的證明需要證明左逆元、右逆元。 f ( e ) = f ( a ∗ a − 1 ) = f ( a ) ∘ f ( a − 1 ) f(e)=f(a*a^{-1})=f(a)\circ f(a^{-1}) f ( e ) = f ( a ∗ a − 1 ) = f ( a ) ∘ f ( a − 1 ) f ( e ) = f ( a − 1 ∗ a ) = f ( a − 1 ) ∘ f ( a ) f(e)=f(a^{-1}*a)=f(a^{-1})\circ f(a) f ( e ) = f ( a − 1 ∗ a ) = f ( a − 1 ) ∘ f ( a )
羣的判定定理 < G , ∗ > 是 羣 ， < H , ∘ > <G,*>是羣，<H,\circ> < G , ∗ > 是 羣 ， < H , ∘ > 存在G到H的滿同態 ，則< H ， ∘ > <H，\circ> < H ， ∘ >
注意：滿同態保持結合律，單位元，逆元。
半羣到羣的判定定理(i) < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > 左單位元e ，使得∀ a ∈ G , e a = a \forall a\in G,ea=a ∀ a ∈ G , e a = a a − 1 , s . t . a − 1 a = e a^{-1},s.t.\,\ a^{-1}a=e a − 1 , s . t . a − 1 a = e
證明思路：
半羣到羣的判定定理(ii) < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > ∀ a , b ∈ G \forall a,b\in G ∀ a , b ∈ G G G G a x = b , y a = b ax =b, ya=b a x = b , y a = b
半羣到羣的判定定理(iii) 有限半羣 ，如果消去律 成立，則必爲羣。
子羣的定義⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ S S S G G G 如果 ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ 也構成羣 ，則稱 ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ 子羣 。
定理1⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ ⟨ G , ∗ ⟩ \langle G,* \rangle ⟨ G , ∗ ⟩ e e e ⟨ S , ∗ ⟩ \langle S,* \rangle ⟨ S , ∗ ⟩ a ∈ H , a a\in H ,a a ∈ H , a a ′ a^{'} a ′ a − 1 a^{-1} a − 1
子集的判定定理與性質定理H H H < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > H H H G G G 當且僅當 ：∀ a , b ∈ H , a ∗ b ∈ H \forall a,b \in H ,a*b\in H ∀ a , b ∈ H , a ∗ b ∈ H ∀ a ∈ H , a \forall a \in H,a ∀ a ∈ H , a G G G a − 1 ∈ H a^{-1}\in H a − 1 ∈ H
推論< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > S S S G G G S 是 G 的 子 羣 ≡ ∀ a , b ∈ S ， a ∗ b − 1 ∈ S S是G的子羣\equiv \forall a,b\in S，a*b^{-1}\in S S 是 G 的 子 羣 ≡ ∀ a , b ∈ S ， a ∗ b − 1 ∈ S
羣中的指數律a m ∗ a n = a m + n a^m*a^n=a^{m+n} a m ∗ a n = a m + n ( a m ) n = a m n (a^m)^n=a^{mn} ( a m ) n = a m n
循環子羣a ∈ G a\in G a ∈ G ( a ) = { a i ∣ i ∈ Z } (a)=\{a^i|i\in Z\} ( a ) = { a i ∣ i ∈ Z } ( a ) (a) ( a ) a a a
證明：( a ) (a) ( a ) ( a ) (a) ( a ) ∀ a i , a j ∈ ( a ) , a i a j = a i + j ∈ ( a ) \forall a^i,a^j \in (a),a^ia^j=a^{i+j}\in (a) ∀ a i , a j ∈ ( a ) , a i a j = a i + j ∈ ( a )
羣的週期 G G G a ∈ G a\in G a ∈ G n n n a n = e a^n=e a n = e 最小正整數n 稱爲a的週期(階)；n n n a a a ∞ ∞ ∞
∣ a ∣ = ∣ ( a ) ∣ |a|=|(a)| ∣ a ∣ = ∣ ( a ) ∣ a a a 基數 （集合元素的個數）；若a a a n < ∞ n<∞ n < ∞ a m = e ≡ n ∣ m a^{m}=e\equiv n|m a m = e ≡ n ∣ m
推論G G G a ∈ G a\in G a ∈ G a a a n n n ( a ) = { a 0 , a 1 , … … . a n − 1 } (a)=\{a^0,a^1,…….a^{n-1}\} ( a ) = { a 0 , a 1 , … … . a n − 1 }
是G G G ∃ a ∈ G \exists a\in G ∃ a ∈ G G = ( a ) = { a i ∣ i ∈ Z } G=(a)= \{ a^i | i\in Z \} G = ( a ) = { a i ∣ i ∈ Z } G G G
G 是 由 a 生 成 的 循 環 羣 ≡ ∀ x ∈ G , ∃ i ∈ Z , 使 x = a i G是由a生成的循環羣\equiv \forall x \in G,\exists i\in Z,使x=a^i G 是 由 a 生 成 的 循 環 羣 ≡ ∀ x ∈ G , ∃ i ∈ Z , 使 x = a i
定理 1< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > G G G < G , ∗ > ≅ < Z , + > <G,*>\cong <Z,+> < G , ∗ > ≅ < Z , + > G G G n n n < G , ∗ > ≅ < Z n , + n > <G,*>\cong <Z_n,+_n> < G , ∗ > ≅ < Z n , + n >
證明：G G G a a a f : Z — — > G f:Z ——> G f : Z — — > G f ( i ) = a i , ∀ i ∈ Z 。 f(i) = a^i,\forall i \in Z。 f ( i ) = a i , ∀ i ∈ Z 。 f f f f f f ∀ i , j ∈ G 若 f ( i ) = f ( j ) , \forall i,j \in G 若f(i)=f(j), ∀ i , j ∈ G 若 f ( i ) = f ( j ) , a i = a j , a^i=a^j, a i = a j , i > j i>j i > j a i − j = e a^{i-j}=e a i − j = e G G G f f f f f f ∀ i , j ∈ Z , f ( i + j ) = a i + j = a i ∗ a j = f ( i ) ∗ f ( j ) \forall i,j \in Z,f(i+j)=a^{i+j}=a^i*a^j=f(i)*f(j) ∀ i , j ∈ Z , f ( i + j ) = a i + j = a i ∗ a j = f ( i ) ∗ f ( j ) < G , ∗ > ≅ < Z , + > <G,*>\cong <Z,+> < G , ∗ > ≅ < Z , + >
(2)設G G G n n n a a a a a a G = a 0 , a 1 … … a n − 1 G={a^0,a^1……a^{n-1}} G = a 0 , a 1 … … a n − 1 a 0 , a 1 … … a n − 1 a^0,a^1……a^{n-1} a 0 , a 1 … … a n − 1 f ( [ i ] ) = a i , ∀ [ i ] ∈ Z n f([i])=a^i,\forall [i]\in Z_n f ( [ i ] ) = a i , ∀ [ i ] ∈ Z n
定理2子羣 必爲循環羣。(不僅僅要求是子集)G G G a a a H = a = e H ={a} = {e} H = a = e H H H e e e
定理3 //很重要< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > n n n m m m m ∣ n m|n m ∣ n G G G m m m
定義1< R , + , ∗ > <R,+,*> < R , + , ∗ > + , ∗ +,* + , ∗ < R , + > <R,+> < R , + > < R , ∗ > <R,*> < R , ∗ > 半羣 。∗ * ∗ + + + a ∗ ( b + c ) = ( a ∗ b ) + a ∗ c ( b + c ) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a a*(b+c) = (a*b)+a*c \\(b+c)*a=b*a+c*a a ∗ ( b + c ) = ( a ∗ b ) + a ∗ c ( b + c ) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a
設R R R < R , + > <R,+> < R , + > 0 0 0 零元 ,a∈ R \in R ∈ R < R , + > <R,+> < R , + > − a -a − a a a a 負元 ，m a = a + a + … … + a ma = a+a+……+a m a = a + a + … … + a
0 a = a 0 = 0 , ∀ a ∈ R 0a=a0=0,\forall a\in R 0 a = a 0 = 0 , ∀ a ∈ R a ( − b ) = ( − a ) b = − ( a b ) a(-b)=(-a)b=-(ab) a ( − b ) = ( − a ) b = − ( a b ) ( − a ) ∗ ( − b ) = a b , ∀ a , b ∈ R (-a)*(-b)=ab,\forall a,b\in R ( − a ) ∗ ( − b ) = a b , ∀ a , b ∈ R
在環R中，a + ( − b ) a+(-b) a + ( − b ) a − b a-b a − b − - −
a ( b − c ) = a b − a c a(b-c)=ab-ac a ( b − c ) = a b − a c
在環< R , + , ∗ > <R,+,*> < R , + , ∗ > 幺半羣 ，則稱< R , ∗ > <R,*> < R , ∗ > 1 1 1 有單位元的環、有1的環 。
環的乘法羣 R *所有的可逆元 在乘法運算下構成一個羣，該羣記爲R ∗ R* R ∗
定義1< R , + , ∗ > <R,+,*> < R , + , ∗ > a ∈ R a\in R a ∈ R a a a 非零 元素b b b a b = 0 ( b a = 0 ) ab=0(ba=0) a b = 0 ( b a = 0 )
例1< Z n , + n , × n > <Z_n,+_n,\times_n> < Z n , + n , × n > Z n Z_n Z n
定理1
若環R無零因子，則乘法消去律成立，a b = a c ≡ b = c ab=ac \equiv b=c a b = a c ≡ b = c b a = c a ≡ b = c ba=ca \equiv b=c b a = c a ≡ b = c 無 零 因 子 ≡ 消 去 律 成 立 無零因子\equiv 消去律成立 無 零 因 子 ≡ 消 去 律 成 立 反之亦然 。
整環的定義單位元 、無零因子 的交換環 稱爲整環。
除環、域 R R R R ∧ = R − { 0 } R^{\wedge}=R-\{0\} R ∧ = R − { 0 } < R ∧ , ∗ > <R^{\wedge},*> < R ∧ , ∗ > R R R 除環 ，可交換的除環 稱爲域 。
(1)有單位元的環R是除環≡ \equiv ≡ ≡ \equiv ≡ R ∗ = R − 0 R^{*}=R-{0} R ∗ = R − 0 ≡ \equiv ≡ 交換環 且 R中非零元素均可逆。
由於Z p Z_p Z p Z p Z_p Z p
