bzoj 3288 歐拉函數線性篩法

3288: Mato矩陣

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Description

Mato同學最近正在研究一種矩陣，這種矩陣有n行n列第i行第j列的數爲gcd(i,j)。
例如n=5時，矩陣如下：

1 1 1 1 1
1 2 1 2 1
1 1 3 1 1
1 2 1 4 1
1 1 1 1 5

Mato想知道這個矩陣的行列式的值，你能求出來嗎?

Input

一個正整數n mod1000000007

Output

n行n列的Mato矩陣的行列式。

Sample Input

5

Sample Output

16

HINT

對於100%的數據，n<=1000000。

通過打表得到，這個矩陣通過化簡，主對角線的值爲歐拉函數值

打表代碼如下：

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
const double eps=1e-9;
int equ,var;
double arr[20][20];
int Gauss()
{
    int row=0,col=0;
    for(;row<equ&&col<var;row++,col++){
        int max_r=row;
        for(int i=row+1;i<equ;i++)
            if(fabs(arr[i][col])>fabs(arr[max_r][col])) max_r=i;
        if(fabs(arr[max_r][col])<eps) return 0;

        if(row!=max_r)
            for(int j=col;j<var;j++)
                swap(arr[row][j],arr[max_r][j]);

        for(int i=row+1;i<equ;i++)
            for(int j=col+1;j<var;j++)
                arr[i][j]-=arr[i][col]*arr[row][j]/arr[row][col];
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int n=15;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        arr[i][j]=gcd(i+1,j+1);
    equ=var=n;
    Gauss();
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ",(int)arr[i][i]);
    return 0;
}

然後就是線性篩法一弄就好了

#include<stdio.h>
#include<algorithm>

#define MOD 1000000007
using namespace std;
int n;
long long ans=1;

#define MAXN 1000010
int phi[MAXN],prime[MAXN],tot;
bool not_prime[MAXN];
void Linear_euler()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!not_prime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;

        for(int j=1;prime[j]*i<=MAXN;j++){
            not_prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){ phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j]; break;}
            phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    Linear_euler();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans*=phi[i],ans%=MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}