串（數據結構）

前言：

串就是我們所說的字符串，計算機對數據的處理主要包括數值計算和非數值計算，在計算機發展的早期，數值計算比較普遍，然而隨着社會的發展和計算需求的發展，在計算機上做非數值處理的計算越來越多，而在計算機上非數值處理大部分是對字符串的處理，處理這些字符串數據比起處理整型、浮點型數據都要複雜很多，所以把串作爲一種獨立的數據結構進行研究。

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一.串導學

1.課程結構

（概述）
第1章 數據結構、ADT、算法

（基礎）
第2章 線性表
第3章 棧和隊列
第4章 字符串
第5章 數組與廣義表
第6章 樹和二叉樹
第7章 圖

（應用）
第9章 查找
第10章 內部排序
第11章 外部排序

2.知識點搜索

字符串還是一種線性結構，它的存儲也有順序和鏈式兩種結構實現，它的操作和線性表的c操作也是相同的，但是它的這些操作是針對字符串所特有的一些操作，所以我們只是簡單的討論一下串特有的邏輯結構以及操作的實現。

3.串也是一種數據結構

在c/c++中我們也瞭解過字符串了，但是在那裏更像是一種數據類型，而在這我們是當做數據結構。

串是一種特殊的線性表，特殊在：
（1）數據元素都來自字符集！
也就是說串中每一個元素的數據類型都是字符型的，他的數據對象是字符集。
（2）由於數據元素特殊，它的操作有些不同於一般線性表。
例如：操作對象一般是子串（即一組數據元素），而不是單個數據元素

4.串的應用

串的應用是十分廣泛的
比如：搜索引擎中的字符串查找匹配、文字處理軟件wps office、生物信息處理等等，這些實際上都是對字符串進行處理。

5.帶着問題去學習

數據結構中的“串” 和C/C++中的“串” 有何區別？
串與線性表的關係？
“串” 這種數據結構的作用？
掌握：
1.串的特點（與線性表的區別）
2.模式匹配算法（BF，KMP）

二.串的基本概念

1.串的定義

由零個或多個字符組成的有限序列

還要了解幾個定義：
（1）空串：含零個字符的串稱爲空串，用Ф表示。
空串是可以存在的，一定要區分開空串和空格串，空格串是指一個字符串是空格的。
（2）串長：串中所含字符的個數稱爲該串的長度（n）
（2）串的表示：S=“a1a2…an” ，每個ai（1≤i≤n）代表一個字符。

例子：

2.串的操作

操作：（與線性表同的略。因爲字符串是一種特殊的線性結構，所以也有與線性表相同的操作，在此省略）

（1）串相等：當且僅當兩個串的長度相等並且各個對應位置上的字符都相同，稱兩個串相等。
例如，“abc”與“abc”相等，“abc”和“acb”不相等，“abc”和“a bc”不相等

（2）子串：一個串中任意個連續字符組成的子序列（含空串）稱爲該串的子串。
例如，“a”、“ab”、“abc”和“abcd”等都是“abcde”的子串

（3）真子串：是指不包含自身的所有子串。
（注意是 所有 並且不包含自身）
例：“abcde”有多少個真子串?
15個，（注意空串也算是一個子串）
推廣：n(n+1)/2個（利用數學上的等差數列求和即可得出）

（4）空串也是一個子串

3.串的基本操作

串的很多操作都是在子串的基礎上進行操作的

（1）串插入操作
StrInsert(S,pos,T)：在串S的位置爲pos的字符之前插入串T

示例： S=“Beig”,
T = “jin”
則執行StrInsert(S,4,T)後
S=“Beijing”,

（2）串刪除操作
StrDelete(S,pos,len)：從串S中刪除位置爲pos的字符起長度爲len的子串

示例： S=“Beijing”,
則執行StrDelete(S,4,3)後
S=“Beig”,

（3）串鏈接、求子串、串替換等

4.串與線性表的關係

（1）相同點：

數據元素都來自字符集
操作對象是子串
基本操作：模式匹配

（2）區別：

一般線性表
邏輯結構：一對一
存儲結構：順序表、鏈表
運算規則：隨機、順序存取
操作對象：單個元素

串
邏輯結構：一對一
存儲結構：順序串、鏈式串
運算規則：隨機、順序存取
（串相等、模式匹配）
操作對象：子串

三.模式匹配

（模式匹配是串的重要操作）

1.串的模式匹配

（1）定位：
（串的模式匹配又叫做定位，即在主串T中找是否存在子串P）
①設有主串T和子串P，
②在主串T中找到第一個與子串P相等的子串的位置（第一次出現的位置）
（這個位置當然是子串在主串中出現的第一個字符的位置，然後把這個位置返回）。

（2）目標串：主串 T
（3）模式串：子串 P
（在模式匹配中我們通常把目標串叫做主串，用T表示，同理，模式串爲子串，用P表示）

（4）結果：
①模式匹配成功：在目標串T中找到一個模式串P；
②模式匹配不成功：目標串T中不存在模式串P。

示例：
目標 T : “Beijing”
模式 P : “jin”
匹配結果 = 3
（3呢，就是子串在主串中的位置，當然在這裏是從下標爲0開始計算的，也可以從1開始計算，那就是4了，是比較靈活的）

2.模式匹配的應用

• 自然語言處理：信息檢索
• 生物信息處理：DNA匹配
• 語音識別：輸入的語音符號化
• 網絡安全：病毒入侵檢測

（以上幾塊領域在計算機數據處理中應用很大，可見模式匹配的重要性）

3.模式匹配的作用

（以我們此次的疫情生物病毒舉例）
（1）研究者將人的DNA和病毒DNA均表示成由一些字母組成的字符串序列。
（2）然後檢測某種病毒DNA序列是否在患者的DNA序列中出現過，如果出現過，則此人感染了該病毒，否則沒有感染。
（3）例如：
假設病毒的DNA序列爲baa，
患者1的DNA序列爲aaabbba，則感染，
患者2的DNA序列爲babbba，則未感染。
（注意，人的DNA序列是線性的，而病毒的DNA序列是環狀的)

四.BF算法

1.模式匹配算法

（模式匹配算法我們只學習BF算法和KMP算法，當然還有別的模式匹配算法）

（1)BF算法
①最簡單、最易理解 （我們通常又把它叫做簡單模式匹配算法）
②採用回溯法 （在學習c語言時其實用到過）
（2）KMP算法
（3）BM算法
（4）KR算法
（5）……

2.算法過程

（1）採用回溯法：
①從主串的第i個位置開始，與子串的每個字符逐個比較，若均相等，則找到，位置爲i；
②否則，即在某個位置出現了不等，則說明從該起點開始的子串不是模式串，換一個新起點(第i+1個位置)，重新開始，繼續逐一比較，
③直到找到，或i>=Length(T)爲止。

（2）例子：
（在這個例子中起始位置從0開始計算的）
用指針i指向主串T，指針j指向子串P

（3）特點:回溯
每趟的：
①主串回溯到上次起點的下一個位置；
②子串（模式串）回到0

3.算法執行

（1）Index(T,P,pos)
①將主串的第pos個字符和模式的第一個字符比較，若相等，繼續逐個比較後續字符；若不等，從主串的下一字符起，重新與模式的第一個字符比較。
②直到主串的一個連續子串字符序列與模式相等 。返回值爲T中與P匹配的子序列第一個字符的序號，即匹配成功。
③否則，匹配失敗，返回值 0

（2）代碼實現

（這個算法不難，注意我們在這是用的下標從1開始的位置）

int Index(Sstring T,Sstring P,int pos) //T代表主串，p代表子串，pos代表從主串的哪個位置開始找 
{
	i=pos;  //i的初值是pos 
	j=1;    //j的初值是1 ，這裏是從下標爲1開始計算的 ，前面的例子是從0開始計的 
	while(i<=T.len&&j<=P.len)     //即主串沒到頭並且子串沒到頭就循環 
	{
		if(T.data[i]==P.data[j])   //如果兩個串開始有相等的 
		{
			++i;          //i++ 主串向後移 
			++j;          //j++  子串向後移 
		}
		else          //否則的話就是不等了 ，就要回溯 
		{               
			i=i-j+2;    //i-j+2代表i要回溯的那個位置 ，主串回溯到上次起點的下一個位置，如果從0開始計的話，那麼爲i=i-j+1 
			j=1;        //j回溯到1，如果從0開始計的話，j=0； 
		}
	}
	if(j>P.len)         // 如果j往後走的過程中超過了P子串的長度，即匹配全部成功的話 
		return i-P.len;     //代表i在這一次匹配過程中它最先出發的那個點 下標 位置 
	else
		return 0;
}

（3）爲什麼主串回溯的位置是i-j+2？

4.算法複雜度分析

若n爲主串長度，m爲子串長度

（1）最好情況複雜度：O(m)
目標串的前 m 個字符正好等於模式串的 m 個字符。

例：若n爲主串長度，m爲子串長度
S=‘0001000001’，
T=‘0001’，
pos=1

（2）最壞情況複雜度：O(nm)
每次到最後一個字符才發現不匹配，這時再“倒回去”進行比較
比較次數：m(n-m)（n-m個各比較了m次）

例：若n爲主串長度，m爲子串長度
S=‘0000000001’，
T=‘0001’，
pos=1

（3）算法評價
算法簡單，易於理解，但效率不高。

五.KMP算法

BF算法雖然簡單好理解，但是效率卻不高，接下來的是改進的模式匹配算法，叫做kMP算法。

1.來源

由以下三人同時發明的算法，因此給它起名字爲KMP算法，
D.E.Knuth
J.H.Morris
V.R.Pratt
其中D.E.Knuth（唐納德·克努特）被人們成爲算法和程序設計的先驅者，他有一套經典的著作是計算機程序設計藝術，這套藝術被譽爲算法中真正的聖經。
《計算機程序設計藝術 第1卷 基本算法》
《計算機程序設計藝術 第2卷 半數值算法》
《計算機程序設計藝術 第3卷 排序與查找》
他曾經說過：B-F算法中，匹配失敗後不必完全從頭再來（不必回溯)，找到可以利用的信息，跳躍性匹配……
那麼kmp算法就是他所說的改進的模式匹配算法。

2.發現BF算法的改進點

（1）BF算法：
當比較到某個位置不匹配時，不管什麼情況，都進行回溯！回溯到該次比較的起始點的下一個位置，算法效率低。


（2）KMP算法改進：
在匹配失敗時，主串中的指針i不需要回溯，而是在模式中找出適當的字符繼續比較，以此提高效率

利用已經部分匹配這個有效信息，保持i指針不回溯，通過修改j指針，讓模式串儘量地移動到有效的位置。
（已經部分匹配是指子串前面已經有幾個字符匹配好了）

（3）有效：i不回溯，j要從哪裏開始？

通過next函數找到j要移動的位置k
（通過一個自己編寫的函數找到下一次要移動的位置)

3.KMP算法要解決的兩個問題

（1）如何根據失敗函數進行比較？

失敗函數：匹配失敗時，通過next函數求得當前匹配失敗點的位置 j 所對應的移動位置 k

例：假設：失敗函數已經建立

總結KMP算法：
模式 P 的第 j 位失配時：
①若 j > 0，下一趟比較時模式串 P的起始比較位置是P[next(j)]，目標串 T 的指針不回溯
（j>0時，j=next(j); i不動）
②若 j = 0，則目標串 T指針進一，模式串P 指針回到 0
（j=0時，j=0; i++）

（2）next函數如何求得？

匹配不成功的那一刻，T[i]!=P[j]，但： ‘P0P1…Pj-1’=‘Ti-j+1,Ti-j+2…Ti-1’
假設下一步與模式中第k(k<j)個字符比較，則模式中前k-1個字符必須滿足： ‘P0P1…Pk-1’=‘Pi-k+1,Pi-k+2…Pi-1’
於是得出：
‘P0P1…Pk-1’=‘Pj-k+1,Pj-k+2…Pj-1

4.KMP算法的時間複雜度

（1）設主串T的長度爲 n，模式串P長度爲 m；
（2）求next數組的時間複雜度爲 O(m)；
（3）匹配中因主串T不回溯，比較次數可記爲n,
（4）所以KMP算法總的時間複雜度爲 O(n+m)。

5.模式匹配算法比較

（1）BF算法
①最簡單、最易理解
②採用回溯法
（2）KMP算法
①效率較高，可提速到O(n+m)
②主串指針不回溯

6.next函數的改進

例子：

（1）提出問題：
next[j]=k 即 Ti 與 Pj 比較不相等時，繼續與 pk 比較，但是若 pk=pj 顯然肯定還要失敗，所以 next[j] 可以改進。

（2）改進：
next[j] = k，如果Pj=Pk，則 主串中Ti和Pj不等，不需再和pk進行比較，而直接和pnext[k]進行比較。

（3）如何求nextnal：
比較P[j]和P[k]，
若不等，則 nextval[j]=k（next[j]）；
若相等，nextval[j]=nextval[k]；

六.總結

1. 串數據結構的特點：

 重點掌握：數據對象限定了字符集，操作對象是一組數據元素

2. 模式匹配算法：BF、KMP

 重點掌握：熟悉next[j]函數的定義,會算next[j]和改進的nextval[j]。