2020.05.10日常總結——最小割略講

最小割略講\color{green}{\texttt{最小割略講}}

  • Part one:什麼是最小割\color{blue}{\texttt{Part one:什麼是最小割}}

    • 割:割是原圖中的一個 邊集\color{red}{\texttt{邊集}}。如果把一個邊集中的邊刪除後,sstt 不連通。更學術的說法是:把圖分爲 X,YX,Y 兩個點集,其中 XXYY 無交集且 sX,tYs \in X,t \in Y
    • 割的大小:割的大小定義爲割中所有邊的容量和,即割 EE 的大小爲:
      (u,v)Ecu,v\sum\limits_{(u,v) \in E} c_{u,v}
    • 最小割:即大小最小的割
  • Part two:如何求最小割\color{blue}{\texttt{Part two:如何求最小割}}

    • 最大流最小割定理:一個圖的最大流 == 最小割
    • 求解:直接跑最大流算法,求出的結果即爲最小割的大小
    • 方案:從 ss 開始 dfs,只走殘餘流量 >0>0 的邊,即可找到所有 XX 中的點
    • 割邊數量:把所有邊的容量變成 11,直接 dinic

實例——洛谷 P1345\color{green}{\texttt{實例——洛谷 P1345}}

【題意】:\color{blue}{\texttt{【題意】:}}

在這裏插入圖片描述

【思路】:\color{blue}{\texttt{【思路】:}} 題目讓我們求的是點集,但是直接跑求出的是邊集,這該怎麼辦呢?

解決方法需要用到 拆點\color{red}{\texttt{拆點}} 這一圖論中常用的技巧。我們把一個點 ii 變成兩個點 iii+ni+nii 負責連入,i+ni+n 負責連出。什麼意思:就是原本一條邊 (u,v)(u,v) 拆成兩條邊 (u+n,v)(u+n,v)(v+n,u)(v+n,u),容量爲正無窮。

如何控制一個點只能被刪除一次呢?我們從每個點 iii+ni+n 連一條容量爲 11 的點就可以啦。然後直接跑最大流就搞定了這一題。

【代碼】:\color{blue}{\texttt{【代碼】:}}

const int N=210,M=1420;
struct edge{//鏈式前向星 
	int next,to,dis;
}e[M<<1];int h[N],tot=1;
inline void add(int a,int b,int c){
	e[++tot]=(edge){h[a],b,c};h[a]=tot;
	e[++tot]=(edge){h[b],a,0};h[b]=tot;
}
int dep[N],cur[N],n,m,s,t,ans;
inline bool bfs_init(int s,int t){
	memset(dep,-1,sizeof(dep));
	dep[s]=1;queue<int> q;q.push(s);
	while (!q.empty()){//把圖分層 
		register int u=q.front();q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next){
			register int to=e[i].to;
			if (dep[to]==-1&&e[i].dis>0){
				dep[to]=dep[u]+1;
				q.push(to);
			}
		}
	}
	return dep[t]!=-1;
}
inline int dfs(int u,int dist){
	if (u==t) return dist;int flow=0;
	for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next){
		register int to=e[i].to,tmp;
		if (e[i].dis>0&&dep[to]==dep[u]+1){
			if ((tmp=dfs(to,min(dist,e[i].dis)))>0){
				dist-=tmp;flow+=tmp;e[i].dis-=tmp;e[i^1].dis+=tmp;
				if (dist==0) return flow;//沒有剩餘的流量,直接返回 
			}
		}
	}
	if (dist!=0) dep[u]=-1;
	return flow;
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
inline int dinic_algorithm(){
	register int ans=0,tmp;
	while (bfs_init(s+n,t)){
		memcpy(cur,h,sizeof(h));
		while ((tmp=dfs(s+n,inf))>0)
			ans+=tmp;//累計增廣答案 
	}
	return ans;
}
inline void add_edge(int u,int v,int t){
	add(u+n,v,t);add(v+n,u,t);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add_edge(u,v,inf);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		add(i,i+n,1);
	ans=dinic_algorithm();
	printf("%d",ans);
	return 0;
}
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