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- 割:割是原圖中的一個 。如果把一個邊集中的邊刪除後, 和 不連通。更學術的說法是:把圖分爲 兩個點集,其中 和 無交集且 。
- 割的大小:割的大小定義爲割中所有邊的容量和,即割 的大小爲:
- 最小割:即大小最小的割
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- 最大流最小割定理:一個圖的最大流 最小割
- 求解:直接跑最大流算法,求出的結果即爲最小割的大小
- 方案:從 開始
dfs
,只走殘餘流量 的邊,即可找到所有 中的點 - 割邊數量:把所有邊的容量變成 ,直接
dinic
題目讓我們求的是點集,但是直接跑求出的是邊集,這該怎麼辦呢?
解決方法需要用到 這一圖論中常用的技巧。我們把一個點 變成兩個點 和 。 負責連入, 負責連出。什麼意思:就是原本一條邊 拆成兩條邊 和 ,容量爲正無窮。
如何控制一個點只能被刪除一次呢?我們從每個點 向 連一條容量爲 的點就可以啦。然後直接跑最大流就搞定了這一題。
const int N=210,M=1420;
struct edge{//鏈式前向星
int next,to,dis;
}e[M<<1];int h[N],tot=1;
inline void add(int a,int b,int c){
e[++tot]=(edge){h[a],b,c};h[a]=tot;
e[++tot]=(edge){h[b],a,0};h[b]=tot;
}
int dep[N],cur[N],n,m,s,t,ans;
inline bool bfs_init(int s,int t){
memset(dep,-1,sizeof(dep));
dep[s]=1;queue<int> q;q.push(s);
while (!q.empty()){//把圖分層
register int u=q.front();q.pop();
for(int i=h[u];i;i=e[i].next){
register int to=e[i].to;
if (dep[to]==-1&&e[i].dis>0){
dep[to]=dep[u]+1;
q.push(to);
}
}
}
return dep[t]!=-1;
}
inline int dfs(int u,int dist){
if (u==t) return dist;int flow=0;
for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next){
register int to=e[i].to,tmp;
if (e[i].dis>0&&dep[to]==dep[u]+1){
if ((tmp=dfs(to,min(dist,e[i].dis)))>0){
dist-=tmp;flow+=tmp;e[i].dis-=tmp;e[i^1].dis+=tmp;
if (dist==0) return flow;//沒有剩餘的流量,直接返回
}
}
}
if (dist!=0) dep[u]=-1;
return flow;
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
inline int dinic_algorithm(){
register int ans=0,tmp;
while (bfs_init(s+n,t)){
memcpy(cur,h,sizeof(h));
while ((tmp=dfs(s+n,inf))>0)
ans+=tmp;//累計增廣答案
}
return ans;
}
inline void add_edge(int u,int v,int t){
add(u+n,v,t);add(v+n,u,t);
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
add_edge(u,v,inf);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
add(i,i+n,1);
ans=dinic_algorithm();
printf("%d",ans);
return 0;
}