PAT-B1030/A1085-完美數列 (25分)

題目描述

給定一個正整數數列，和正整數 p，設這個數列中的最大值是 M，最小值是 m，如果 M≤mp，則稱這個數列是完美數列。

現在給定參數 p 和一些正整數，請你從中選擇儘可能多的數構成一個完美數列。

輸入格式

輸入第一行給出兩個正整數 N 和 p，其中 N（≤105）是輸入的正整數的個數，p（≤109）是給定的參數。第二行給出 N 個正整數，每個數不超過 109。

輸出格式

在一行中輸出最多可以選擇多少個數可以用它們組成一個完美數列。

輸入樣例

10 8
2 3 20 4 5 1 6 7 8 9

輸出樣例

8

題目信息

作者：CAO, Peng

單位：Google

代碼長度限制：16 KB

時間限制：200 ms

內存限制：64 MB

題目類型：二分-尋找有序數列第一個滿足某條件的元素的位置

分析

由於題幹中涉及序列的最大值和最小值，因此不妨先將所有N個正整數從小到大進行排序。

在此基礎上能證明：能使選出的數個數最大的方案，一定是在該遞增序列中選擇連續的若干個數的方案。

（如果不想看證明可以跳過）

我們簡單解釋一下反證法是如何證明結論的：

首先假設能使選出的數個數最大的方案，不是在該遞增序列中連續的方案。

那就舉個例子： 存在序列 1 2 3 4 5 6 7，我們假設1 2 3 7 滿足 M<=m*p的要求，根據假設，1 2 3 7 是滿足條件的最大序列，可是當我們取出 1 2 3 4 5 6 7，M還是7，m還是1，既然1 2 3 7滿足條件，那麼 1 2 3 4 5 6 7一定滿足條件，這就與假設矛盾，假設不成立

數學上的反證法爲：

證明：設遞增序列A爲{a₁，a₂，……，a_i，a_i+1，……，a_i+m，a_j，……，a_n }，假設從中能選出的個數最大的方案爲{ a_i，a_i+1，……，a_i+m，a_j }，即a_i，a_i+1，a_i+m 爲序列中連續的數，a_j 爲與其在序列中不連續的數。因此該方案中的最大值爲 a_j，最小值爲a_i，且滿足 a_j≤a_i*p。而事實上，由於原序列A中元素是遞增的，因此可以把方案擴充爲連續序列（a_i，a_i+1，……，a_j}，而這個序列的最大值仍然爲 a_j，最小值仍然爲 a_i；，因此 a_j≤ a_i*p 仍然成立。於是就找到了一個新的序列，使得它的長度比原先不連續序列的長度要長。因此假設不成立，得出結論：能使選出的數的個數最大的方案，一定是在該遞增序列中選擇連續的若干個數的方案。證畢。

從左至右掃描序列，對其中的每一個數a[i]，在a[i+1]~a[n-1]內二分查找第一個超過a[i]*p的數的位置j，這樣 j-i 就是對位置 i 來說滿足 M < np 的最遠長度。取所有j-i 的最大值即爲所求的答案，時間複雜度爲 O(logn)。

注意點

主要是JAVA的注意點，數量級有 10⁹，所以要注意範圍問題，由於 Java 的 Integer.MAX_VALUE 爲 2147483647，所以大多數地方無需擔心，只要注意這兩個地方

• 首先是取中點的位置，可以把(left + right)/2，換成left + (right - left)/2
  • 取中點時的 right 要在數組最後一個元素的後面，這樣是爲了防止二分查找沒有能超過a[i]*p的數時，卻返回了數組最後一個元素的情況
• 還有就是 p * N 很可能會超過 Java 所能表示的長度，所以這裏要用 Long，否則測試點5會錯誤

代碼實現-JAVA

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;

class Main{
	public static void main(String[] args) throws Exception{
		BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		String[] strArr;
		strArr = bf.readLine().split(" ");
		int N = Integer.parseInt(strArr[0]);
		long p = Long.parseLong(strArr[1]);
		strArr = bf.readLine().split(" ");
		long[] longArr = new long[N];
		for(int i =0; i<N; i++)
			longArr[i] = Long.parseLong(strArr[i]);
        // 排序
		Arrays.sort(longArr);
		System.out.println(findMaxLength(longArr, p));
		
	}
	
    // 找到第一個比arr[i]更大的數的位置
    // 參數 x 是 arr[i] * p，會超過 int 表示範圍
	public static long findFirstBig( long[] arr,long x ) {
		int left = 0;
        // 不是arr.length-1，right的位置在最後一個元素的後面
		int right = arr.length;
		while(left < right) {
            // 避免超過int表示範圍
			int mid = left + (right - left)/2;
			if(arr[mid] > x) {
				right = mid;
			}else {
				left = mid + 1;
			}
		}
		return left;
	}
	
    // 返回最大長度
	public static long findMaxLength( long[] arr, long p ){
		long max = 0;
		for(int i=0; i<arr.length; i++) {
            // arr[i] * p 會超過 int 表示範圍
			long nowMaxPos = findFirstBig(arr, arr[i]*p);
			if(nowMaxPos - i > max)
				max = nowMaxPos - i;
		}
		return max;
	}
}

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參考：《算法筆記》胡凡