PAT-B1030/A1085-完美数列 (25分)

题目描述

给定一个正整数数列，和正整数 p，设这个数列中的最大值是 M，最小值是 m，如果 M≤mp，则称这个数列是完美数列。

现在给定参数 p 和一些正整数，请你从中选择尽可能多的数构成一个完美数列。

输入格式

输入第一行给出两个正整数 N 和 p，其中 N（≤105）是输入的正整数的个数，p（≤109）是给定的参数。第二行给出 N 个正整数，每个数不超过 109。

输出格式

在一行中输出最多可以选择多少个数可以用它们组成一个完美数列。

输入样例

10 8
2 3 20 4 5 1 6 7 8 9

输出样例

8

题目信息

作者：CAO, Peng

单位：Google

代码长度限制：16 KB

时间限制：200 ms

内存限制：64 MB

题目类型：二分-寻找有序数列第一个满足某条件的元素的位置

分析

由于题干中涉及序列的最大值和最小值，因此不妨先将所有N个正整数从小到大进行排序。

在此基础上能证明：能使选出的数个数最大的方案，一定是在该递增序列中选择连续的若干个数的方案。

（如果不想看证明可以跳过）

我们简单解释一下反证法是如何证明结论的：

首先假设能使选出的数个数最大的方案，不是在该递增序列中连续的方案。

那就举个例子： 存在序列 1 2 3 4 5 6 7，我们假设1 2 3 7 满足 M<=m*p的要求，根据假设，1 2 3 7 是满足条件的最大序列，可是当我们取出 1 2 3 4 5 6 7，M还是7，m还是1，既然1 2 3 7满足条件，那么 1 2 3 4 5 6 7一定满足条件，这就与假设矛盾，假设不成立

数学上的反证法为：

证明：设递增序列A为{a₁，a₂，……，a_i，a_i+1，……，a_i+m，a_j，……，a_n }，假设从中能选出的个数最大的方案为{ a_i，a_i+1，……，a_i+m，a_j }，即a_i，a_i+1，a_i+m 为序列中连续的数，a_j 为与其在序列中不连续的数。因此该方案中的最大值为 a_j，最小值为a_i，且满足 a_j≤a_i*p。而事实上，由于原序列A中元素是递增的，因此可以把方案扩充为连续序列（a_i，a_i+1，……，a_j}，而这个序列的最大值仍然为 a_j，最小值仍然为 a_i；，因此 a_j≤ a_i*p 仍然成立。于是就找到了一个新的序列，使得它的长度比原先不连续序列的长度要长。因此假设不成立，得出结论：能使选出的数的个数最大的方案，一定是在该递增序列中选择连续的若干个数的方案。证毕。

从左至右扫描序列，对其中的每一个数a[i]，在a[i+1]~a[n-1]内二分查找第一个超过a[i]*p的数的位置j，这样 j-i 就是对位置 i 来说满足 M < np 的最远长度。取所有j-i 的最大值即为所求的答案，时间复杂度为 O(logn)。

注意点

主要是JAVA的注意点，数量级有 10⁹，所以要注意范围问题，由于 Java 的 Integer.MAX_VALUE 为 2147483647，所以大多数地方无需担心，只要注意这两个地方

• 首先是取中点的位置，可以把(left + right)/2，换成left + (right - left)/2
  • 取中点时的 right 要在数组最后一个元素的后面，这样是为了防止二分查找没有能超过a[i]*p的数时，却返回了数组最后一个元素的情况
• 还有就是 p * N 很可能会超过 Java 所能表示的长度，所以这里要用 Long，否则测试点5会错误

代码实现-JAVA

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;

class Main{
	public static void main(String[] args) throws Exception{
		BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		String[] strArr;
		strArr = bf.readLine().split(" ");
		int N = Integer.parseInt(strArr[0]);
		long p = Long.parseLong(strArr[1]);
		strArr = bf.readLine().split(" ");
		long[] longArr = new long[N];
		for(int i =0; i<N; i++)
			longArr[i] = Long.parseLong(strArr[i]);
        // 排序
		Arrays.sort(longArr);
		System.out.println(findMaxLength(longArr, p));
		
	}
	
    // 找到第一个比arr[i]更大的数的位置
    // 参数 x 是 arr[i] * p，会超过 int 表示范围
	public static long findFirstBig( long[] arr,long x ) {
		int left = 0;
        // 不是arr.length-1，right的位置在最后一个元素的后面
		int right = arr.length;
		while(left < right) {
            // 避免超过int表示范围
			int mid = left + (right - left)/2;
			if(arr[mid] > x) {
				right = mid;
			}else {
				left = mid + 1;
			}
		}
		return left;
	}
	
    // 返回最大长度
	public static long findMaxLength( long[] arr, long p ){
		long max = 0;
		for(int i=0; i<arr.length; i++) {
            // arr[i] * p 会超过 int 表示范围
			long nowMaxPos = findFirstBig(arr, arr[i]*p);
			if(nowMaxPos - i > max)
				max = nowMaxPos - i;
		}
		return max;
	}
}

---

参考：《算法笔记》胡凡