LP對偶費用流 TopCoder SRM 676 div1 Farmville（最大費用循環流，對偶原理）

感覺這個年代已經沒有人知道什麼是對偶了。
對偶原理與線性規劃詳見2016集訓隊論文（沒看過而且不知道什麼是對偶的可能看不懂我這博客在講什麼）

$\begin{aligned} &maximize \ c^Tx\\&s.t. \ Ax\leq b \\& \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 0\end{aligned}$

對偶於

$\begin{aligned} &minimize\ b^Tx\\&s.t. \ A^Tx\geq c \\& \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 0\end{aligned}$

其中$b,c,x$皆爲列向量，$A$爲矩陣，$A^T$爲矩陣的轉置。
這兩個最優化問題的答案相等。（強對偶）
一張圖很生動的描述了對偶現象的形式。

$LP$對偶費用流就是對於一個最大費用循環流問題。

$\begin{aligned} &maximize \ \sum_{u,v} cost_{u,v}f_{u,v}\\s.t. \ &f_{u,v} \leq cap_{u,v} \\&\sum_{i} f_{j,i} - \sum_{i} f_{i,j} \leq 0\\&\sum_{i} f_{i,j} - \sum_{i} f_{j,i} \leq 0 \\&f_{u,v} \geq 0\end{aligned}$

第一行是費用，第二行是流量限制，第三行和第四行是流量守恆。
一定要注意上面的這個線性規劃，他的$c^T$是什麼，他的$x$是什麼，他的$A$長什麼樣子，那樣看到對偶形式的時候纔不會蒙圈。
但是這裏要說明的是，我們應該在第三行和第四行中只留下一個，因爲在一個圖中，每個點入度 $\leq$出度即可構成入度$=$出度。
對偶形式：
$v_{i,j}+\phi_i-\phi_j\ge cost_{i,j}\\minimize \sum v_{i,j}\times b_{i,j}$

這裏的$\phi_i$和$\phi_j$其實，在我們上面的$A$矩陣中，就是最下面幾行構成的變量，每列只會有三個地方有值，變量爲$v_{i,j},+\phi(i),-\phi(j)$，又因爲原來是$\leq 0$，所以計算最小值的時候不需要考慮$\phi(i)$造成的貢獻。
而這道題正好滿足下面這個線性規劃，可以對偶成最大費用循環流，把所有正權邊強制選了之後把入度出度不相等的點向$T$/從$S$連邊，然後變成有源匯最大費用最大流（要流量平衡所以需要最大流）。