qc：線路仿真的幾種方法

對於n比特線路，希爾伯特空間維度$D=2^n$。根據不同的具體情形，應選擇合適的方法進行仿真計算。

1、初態爲純態，門爲酉變換(理想門或只有控制error)
量子態用態矢量表示(D*1)，門用酉矩陣表示(D*D)。線路的仿真即：
$|\psi^{\prime}\rangle = U_n...U_2U_1|\psi\rangle$

2、初態爲混態，門爲酉變換(理想門或只有控制error)
量子態用密度矩陣表示(D*D)，門用酉矩陣表示(D*D)。線路的仿真即：
$\rho^{\prime} = U_n...U_2U_1\rho U_1^{\dagger}U_2^{\dagger}...U_n^{\dagger}$

3、門爲非酉變換(有退相干error，leakage error)

• 方法1：
  量子態用密度矩陣表示(D*D)，門用量子運算的算子和表示$\rho^{\prime}=\sum_k E_k\rho E_k^{\dagger}$,其中$\{E_k\}$爲運算元滿足完備性條件, $\sum_k E_k^{\dagger}E_k=I$。
  線路的仿真即：
  $\rho_1=\sum_k E_{1,k}\rho E_{1,k}^{\dagger}$
  $\rho_2=\sum_k E_{2,k}\rho_1 E_{2,k}^{\dagger}$
  …
  $\rho^{'}=\sum_k E_{n,k}\rho_{n-1} E_{n,k}^{\dagger}$
  其中$\{E_{i,k}\}$爲$U_k$的運算元

• 方法2：
  量子態的表示：將密度矩陣轉成vec形式($D^2 * 1$)，門用超算符表示($D^2 * D^2$)。
  線路的仿真即：
  $\tilde{\rho^{\prime}}=\tilde{U_n}...\tilde{U_2}\tilde{U_1}\tilde{\rho}$

• 兩種方法對比
  方法2在計算效率上遠遠優於方法1。對於n層門線路，方法1需要進行n*k次矩陣乘法，方法2只需要進行n次矩陣乘法。