qc：线路仿真的几种方法

对于n比特线路，希尔伯特空间维度$D=2^n$。根据不同的具体情形，应选择合适的方法进行仿真计算。

1、初态为纯态，门为酉变换(理想门或只有控制error)
量子态用态矢量表示(D*1)，门用酉矩阵表示(D*D)。线路的仿真即：
$|\psi^{\prime}\rangle = U_n...U_2U_1|\psi\rangle$

2、初态为混态，门为酉变换(理想门或只有控制error)
量子态用密度矩阵表示(D*D)，门用酉矩阵表示(D*D)。线路的仿真即：
$\rho^{\prime} = U_n...U_2U_1\rho U_1^{\dagger}U_2^{\dagger}...U_n^{\dagger}$

3、门为非酉变换(有退相干error，leakage error)

• 方法1：
  量子态用密度矩阵表示(D*D)，门用量子运算的算子和表示$\rho^{\prime}=\sum_k E_k\rho E_k^{\dagger}$,其中$\{E_k\}$为运算元满足完备性条件, $\sum_k E_k^{\dagger}E_k=I$。
  线路的仿真即：
  $\rho_1=\sum_k E_{1,k}\rho E_{1,k}^{\dagger}$
  $\rho_2=\sum_k E_{2,k}\rho_1 E_{2,k}^{\dagger}$
  …
  $\rho^{'}=\sum_k E_{n,k}\rho_{n-1} E_{n,k}^{\dagger}$
  其中$\{E_{i,k}\}$为$U_k$的运算元

• 方法2：
  量子态的表示：将密度矩阵转成vec形式($D^2 * 1$)，门用超算符表示($D^2 * D^2$)。
  线路的仿真即：
  $\tilde{\rho^{\prime}}=\tilde{U_n}...\tilde{U_2}\tilde{U_1}\tilde{\rho}$

• 两种方法对比
  方法2在计算效率上远远优于方法1。对于n层门线路，方法1需要进行n*k次矩阵乘法，方法2只需要进行n次矩阵乘法。