自動控制系統期末複習內容

Control system

思維導圖

C 1

1.transfer function —>state space

1. 存在轉化矩陣T,將X轉化爲X_bar, 對應的A,B,C,D也和轉化矩陣T有相應關係(有相關證明)

2. G(s)推導,需牢記,G=C*([sI-A]-1)*D

3. 對狀態變量進行nonsingular變換,不改變G

C2

2.1 關於系統可控可觀的判斷

1.controllability

1. S = [B, AB, A2B, …, A.pow(n-1)B]
2. 對特徵方程進行nonsingular變換,不改變可控性
3. 狀態方程的對角標準型:
A矩陣爲對角爲eigenvalue的對角矩陣
  • eigenvalue由傳函分母得來
  • 由sI-A = 0得來
若A的eigenvalue不同,且所有b row不是0,則系統完全可控
4. controllability canonical form(對角型:滿足則一定可控

2.observability

1. 定義:若x和y獨立,則不客觀
V = [C; CA; CA2; …; CA.pow(n-1)
3. 狀態方程的對角標準型:
A矩陣爲對角爲eigenvalue的對角矩陣
  • eigenvalue由傳函分母得來
  • 由sI-A = 0得來
若A的eigenvalue不同,且全部c 列不是0,則系統完全可觀
4. 所有b行,c列無0,意味着no zero-pole cancel,zero-pole cancel意味着(不可觀可控,可觀不可控,不可觀不可控)

3. 總結

可觀性:可通過y反應狀態
可控性:可通過u控制狀態

2.2 可控可觀性 decomposition:什麼樣的A,B,C矩陣意味着系統可控可觀性

1. 可控性

1. 分解矩陣P:由S矩陣得來(S_rank的前m列+independent自己創造的列—>使得P矩陣rank爲n)
2. 由P-1AP,P-1B來得到分解矩陣
3. A‘矩陣左下角矩陣塊=0,且B中對應的矩陣下側塊爲0–>說明該部分狀態變量不可控

2. 可觀性

Q-1 = [q1, q2, …qm, …, qn].T 注意是Q的逆,易錯!!!!!qm~qn爲自己加的。q.T爲V中的行
2. 由Q-1AQ,CQ-1 來得到分解矩陣
3. A‘矩陣右上角矩陣塊=0,且C中對應的矩陣右側塊爲0–>說明該部分狀態變量不可觀

2.3 state feedback control

是由X返回u,並不從y返回,易錯!!

定義: u = r - K.T * x, K.T = [K1, K2, … , Kn]

狀態方程改變: X_dot = (A - BK.T) * X + Br

若系統可控:可根據系統特徵根(poles)來求反饋gain (可控,pole可以任意配置,一種pole配置,對應一種反饋gain)

1. 先判斷系統可控性,poles可任意配置
2.特徵方程:|sI - (A - BK.T)|= 0
3.desired charac. Eq. : (s+p1)(s+p2)(s+p3)…(s+pn) = 0
4. 由上述兩方程相等可得K

加入狀態反饋的系統可觀可控性重要結論

判斷題必考

1. state feedback不改變系統可控性: 由判斷矩陣S來證明,A變爲(A-BK.T)
2. 狀態反饋會改變可觀性!!!(由於可控,poles可任意配置,當產生zero-pole cancel時—>不可觀
3. s.f.不改變系統階次(order),因爲傳函分母s.pow(n) 的係數爲1, 故不會改變

2.4 output feedback

從y返回!!

定義: u = r - K*y, y = Cx

狀態方程改變: X_dot = (A - BKC) * X + Br

加入輸出反饋的系統可觀可控性重要結論

判斷題必考

1. 如果SISO sys可觀可控,引入o.f.後仍可觀可控
2. 如果SISO sys不可觀(不可控),引入o.f.後仍不可觀(不可控)
用閉環 t.f. G(s)來證明!!!!【G0(s) = C|sI-A|B】

2.5 S.F. with Integral Control

(用來Track 輸入)

用途:當我們要求的poles個數>系統階次

我們需要增加系統階次,引入integral control來增加階次

方法:1)引入新狀態變量Xn+1

2)在u前面加入Xn+1和Xn+1.dot,同時保留原系統的原狀態反饋
3)但引入新的輸出反饋到Xn+1.dot = r - y = r - CX

1)幾個重要矩陣的變化(由已知矩陣直接變換得來):A_bar = [A, 0; -C, 0]
 B_bar = [B; 0].   C_bar = [C, 0]

2)u = -K.T * X - Kn+1 * Xn+1
= -K_bar * X_bar
K_bar = [K, Kn+1].T, X_bar = [X; Xn+1]
3) X_bar.dot = (A_bar - B_bar * K_bar.T * X_bar) + [0; r]

上述步驟存在易錯部分!!!:

在求G(s)的時候所用的A_bar, C_bar可由上述得來,但是B_bar 不可直接用,而應選用 r 的係數作爲B來計算!!!!
但對於特徵方程
|sI - (A_bar - B_bar * K_bar.T)|中的B_bar是上述的B_bar

有反饋時,不管是狀態還是輸出反饋,狀態方程中都沒有u,用X或Y來替換

無反饋時,狀態方程有u這個輸入變量

2.6 state observer(又被稱爲estimator)

open loop(omitted)

2. Closed loop estimation

用原系統y和觀測系統y_hat的差值:y~ = y-y_hat作爲反饋—>給觀測器X_hat

1. 公式:X_hat = AX_hat + Bu + Gy~

[y~ = y-C*X_hat]
so X_hat = (A - GC)*X_hat + Bu + Gy

2. 原理:當y~趨於0時,觀測器輸出與原輸出相同,狀態變量可觀測,實現觀測器作用

3. 觀測器即與原系統由相同的狀態方程

但同時有輸出反饋(來自原系統)

4. 觀測器存在定理

1. A-GC可以任意配置<=>A,C可觀
2. 由對偶定理:(A.T,C.T) 可控
解題步驟:
1. 判斷系統可觀性
2. 寫出特徵方程:|sI-(A-GC)| = 0
3. 寫出desired eq
兩者相等,求出G:gain of the obverse

2.7 controller和observer共存下的極點配置

兩者可以分別配置互不影響

1. 一個重要的新參數X~被引入,新系統狀態變量爲:【X;X~】X~ = X-X_hat

由狀態方程推導有X可控但X~不可控(詳見可控性分解)

特徵方程:|sI-(A-BK.T)|*|sI-(A_GC)| = 0

故控制器和觀測器可以任意分別配置,獨立設計

對於要任意配置的系統,要滿足既可觀有可控

2. 新系統的重要結論

1. 新系統with observer不可控
2. observer不可控
3. 傳函不變,傳函之反應系統的可控部分,所以引入觀測器不改變tf
求系統的傳函,可以直接用無反饋:X.dot = AX + Bu或有反饋:X.dot = (A + BK.T)*X + Br 來求,不用考慮觀測器
4. 基於觀測器的s.f.與原sys直接加s.f.傳函相同

C3

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