题目地址:
https://www.lintcode.com/problem/range-sum-query-mutable/description
给定一个数组,要求设计一个数据结构,支持区间和的查询,以及单点修改。
树状数组(Fenwick Tree)是解决这个问题的经典数据结构。设原数组是,树状数组类似于前缀和数组,可以以的时间计算出的前个数之和;但与前缀和数组不同的是,它可以以的时间做单点更新(树状数组里的单点更新的意思是,将原数组的第个位置的数增加,对应的树状数组做对应的更新),而对于前缀和数组来说,做单点更新的时候会花费的时间。具体可以参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/103870987。代码如下:
public class NumArray {
class FenwickTree {
private int[] tree;
public FenwickTree(int[] nums) {
// 树状数组和前缀和类似,需要开原数组长度多一个位置,
// 但多开一个位置的原因和前缀和数组不太一样,它由树状数组本身的性质有关
tree = new int[nums.length + 1];
// 一开始树状数组对应的是元素全是0的数组,
// 初始化的时候其实就是做若干次单点更新,即将每个数字加进去
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
add(i + 1, nums[i]);
}
}
// 单点更新,将原数组的第i个数(从1开始数)增加d
public void add(int i, int d) {
while (i <= tree.length - 1) {
tree[i] += d;
i += lowbit(i);
}
}
// 求原数组前i个数的和(从1开始数)
public int sum(int i) {
int sum = 0;
while (i > 0) {
sum += tree[i];
i -= lowbit(i);
}
return sum;
}
private int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
}
FenwickTree tree;
// 还需要把给定数组的引用存一下,
// 目的是,在做update的时候需要知道相比原数组增加的d是多少
int[] nums;
public NumArray(int[] nums) {
tree = new FenwickTree(nums);
this.nums = nums;
}
public void update(int i, int val) {
// 将nums[i]更新为val,等价于将nums[i]增加val - nums[i],
// 对于树状数组来说,就是将第i + 1个数增加val - nums[i],
// 同时需要将原数组也做相应的变化,以便于下一次对树状数组做add操作
tree.add(i + 1, val - nums[i]);
nums[i] = val;
}
public int sumRange(int i, int j) {
// 返回原数组的第i + 1个数到第j + 1个数之和
return tree.sum(j + 1) - tree.sum(i);
}
}
预处理时间,区间和查询和单点修改时间都是,空间。
注解:
类里也可以不存原数组的引用,直接利用树状数组的sum方法也可以查到原数组某个位置的数,然后做update的时候就不需要更新原数组了。但这样做的话时间会慢一点,因为要多执行两次sum操作。