【計算理論】正則語言 ( 推廣型的非確定性有限自動機 GNFA | 刪除狀態 | 確定性有限自動機 轉爲 正則表達式 )

推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) 引入

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1 . 給定一個自動機 , 必有一個正則表達式可以表示其所識別的語言 ;

2 . 引入 推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) : 首先要構造一個推廣的一般型的非確定性有限自動機 , 每次消除一個狀態 , 最後只剩下兩個狀態 , 此時箭頭上的正則表達式就是最終的正則表達式 ;

上述自動機是一個 推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) , 箭頭上 不是單個字符 或 空字符 , 而是 正則表達式 ;

3 . 推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) 中的推廣的體現 :

① 非確定性有限自動機 ( NFA ) : 箭頭上 只能出現 字符 , 空字符串 , $2$ 種輸入 , 不能出現其它輸入內容 ;

② 推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) : 箭頭上 可以出現 字符 , 空字符串 , 空集 , 正則表達式 , $4$ 種輸入 ;

4 . 推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) 與 非確定性有限自動機 ( NFA ) 是等價的 ;

推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) 刪除狀態

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給定一個 推廣型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) , 找到一個正則表達式 , 代表給定自動機的語言 ;

1 . 需求描述 : 上述自動機中 , $R_1 , R_2, R_3, R_4$ 都是正則表達式 ;

刪除 $q_0$ 狀態 : 目前希望能刪除 自動機中的 $q_0$ 狀態 , 刪除 $q_0$ 之後 , 會省略一部分語言 , 這裏 省略了 $R_1 , R_2 , R_3$ ;

語言要求 : 將 $q_0$ 狀態刪除後 , 不影響整個自動機所接受的語言 , 那麼需要將省略的部分語言 , 補充到 $R_4$ 中 ;

2 . $R_1 , R_2 , R_3$ 關係分析 :

① $R_2$ 星運算 : $R_2$ 是一個循環 , $q_0$ 接受 $R_2$ 後 , 仍然保持 $q_0$ 狀態 , 這裏的該循環的正則表達式表示爲 $(R_2)^*$ ;

② $R_1$ 與 $(R_2)^*$ 串聯運算 : $R_1$ 與 $(R_2)^*$ 是串聯關係 , 表示爲 $R_1 (R_2)^*$

③ 與 $R_3$ 的串聯運算 : $R_1 (R_2)^*$ 與 $R_3$ 是串聯關係 , 表示爲 $R_1 (R_2)^* R_3$ ;

3 . 並運算 : $R_1 (R_2)^* R_3$ 與 $R_4$ 是並集關係 , 都是 $q_i$ 到 $q_j$ 的輸入的正則表達式 ;

4 . 兩個正則表達式並運算表示爲 : $( R_1 (R_2)^* R_3 ) \cup R_4$

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式

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上圖中的自動機是一個 $3$ 個狀態的 確定性有限自動機 ( DFA ) ;

將上述 確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲正則表達式 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 1 ) 添加開始狀態 $S$ 和結束狀態 $T$

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1 . 添加開始和結束狀態 :

① 添加開始狀態 : 添加新的開始狀態 $S$ , 使用 $\varepsilon$ 箭頭指向當前 確定性有限自動機 ( DFA ) 的 開始狀態 ;

② 添加結束狀態 : 再次添加一個 接受狀態 , 從 確定性有限自動機 ( DFA ) 的接受狀態 指向該新的結束狀態 , 該新添加的結束狀態 是 接受狀態 ;

2 . 確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 思想 : 逐步刪除 $1,2,3$ 狀態 , 每次刪除一個狀態 , 生成新的正則表達式 , 最後就剩下 開始狀態 $S$ , 和結束狀態 $T$ , 最後剩下的就是 $S$ 到 $T$ 狀態的正則表達式 , 也是自動機的正則表達式 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 2 ) 刪除 狀態 $2$ 刪除方法

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1 . 刪除 $2$ 狀態 :

① 信息抽取轉移 : 找到 與 $2$ 狀態 所有的相關的信息 , 添加到其它的箭頭上 , 如果沒有創建一個新的箭頭 ;

② $2$ 狀態的輸入和輸出 : 哪些狀態 有箭頭 輸入到 $2$ 狀態 , $2$ 狀態 有哪些箭頭 輸出到了其它狀態 ;

③ 信息轉移 : 將每個輸入 和 每個輸出的信息全部轉移 , 一條信息也不能遺漏 ;

④ $2$ 狀態的輸入輸出統計 : 有 $3$ 條輸入 , $2$ 條輸出 ; 其中有 一條輸入輸出是從 $2$ 狀態輸出指向 它自己 , 共有 $4$ 個箭頭信
息 ; 外部輸入有 2 條 , 外部輸出 有 $1$ 條 , 需要生成的箭頭信息個數是 $外部輸入條數 \times 外部輸出條數$ ;

2 . $2$ 狀態的循環 ( $1$ 輸入 $1$ 輸出 ) : $2$ 狀態下讀取 $b$ , 仍然回到 $2$ 狀態 ; 這 $1$ 個輸入 , $1$ 個輸出 , 是從 $2$ 狀態輸出到 $2$ 狀態 , 這是一個 星計算 ; 使用 $b^*$ 表示 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 2 ) 刪除 狀態 $2$ 信息梳理

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狀態 $2$ 信息梳理如下 ;

1 . $2$ 狀態信息輸入 :

$S$ 狀態 讀取 $\varepsilon$ 跳轉到 $1$ 狀態 ;

$3$ 狀態 讀取 $a$ 跳轉到 $1$ 狀態 ;

2 . $2$ 狀態信息輸出 :

$1$ 狀態讀取 $(ab^*a) \cup b$ 正則表達式 跳轉到 $3$ 狀態 ;

3 . 箭頭信息生成個數 : 外部輸入有 2 條 , 外部輸出 有 $1$ 條 , 需要生成的箭頭信息條數 :

$外部輸入條數 \times 外部輸出條數 = 2 \times 1 = 2$

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 2 ) 刪除 狀態 $2$ : $1$ -> $2$ -> $3$ 生成信息 $1$ -> $3$

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1 . $1$ -> $2$ -> $3$ 狀態跳轉 :

$1$ 狀態讀取 $a$ 跳轉到 $2$ 狀態 : 這裏是狀態 $2$ 的一條輸入 , 使用 $a$ 表示 ;

$2$ 狀態讀取 $b$ 跳轉到 $2$ 狀態 : 這是無限的星計算 , 使用 $b^*$ 表示 ;

$2$ 狀態讀取 $a$ 跳轉到 $3$ 狀態 : 這裏是狀態 $2$ 的一條輸出 , 使用 $a$ 表示 ;

2 . $3$ 個正則表達式是串聯關係 ;

中間經歷的過程是 $1$ 狀態輸入 $a$ 跳轉到 $2$ 狀態 , $2$ 本身可以有無限個星計算 , $2$ 狀態輸入 $a$ 跳轉到 $3$ 狀態 ;

使用正則表達式表示爲 $ab^*a$ ;

4 . 生成箭頭信息 :

$1$ 狀態下 , 讀取 $ab^*a$ 正則表達式 , 可以跳轉到 $3$ 狀態 ;

將 $ab^*a$ 正則表達式 與 $1$ 到 $3$ 跳轉箭頭上的 $b$ 進行並計算 , 得到

$(ab^*a) \cup b$

這是 $1$ 跳轉到 $3$ 的正則表達式 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 2 ) 刪除 狀態 $2$ : $3$ -> $2$ -> $3$ 生成信息 $3$ -> $3$

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1 . $3$ -> $2$ -> $3$ 狀態跳轉 :

$3$ 狀態讀取 $b$ 跳轉到 $2$ 狀態 : 這裏是狀態 $2$ 的一條輸入 , 使用 $b$ 表示 ;

$2$ 狀態讀取 $b$ 跳轉到 $2$ 狀態 : 這是無限的星計算 , 使用 $b^*$ 表示 ;

$2$ 狀態讀取 $a$ 跳轉到 $3$ 狀態 : 這裏是狀態 $2$ 的一條輸出 , 使用 $a$ 表示 ;

2 . $3$ 個正則表達式是串聯關係 ;

中間經歷的過程是 $3$ 狀態輸入 $b$ 跳轉到 $2$ 狀態 , $2$ 本身可以有無限個星計算 , $2$ 狀態輸入 $a$ 跳轉到 $3$ 狀態 ;

三者串聯關係 , 使用正則表達式表示爲 $bb^*a$ ;

即 $3$ 狀態下 , 讀取 $bb^*a$ 正則表達式 , 可以跳轉到 $3$ 狀態 ;

3 . 生成箭頭信息 :

給 $3$ 狀態添加一個箭頭指向它自身 , 箭頭的接收的正則表達式是

$bb^*a$

這是 $1$ 跳轉到 $3$ 的正則表達式 ; 表示 $3$ 狀態下接收 $bb^*a$ 正則表達式 , 仍然跳轉到 $3$ 狀態 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 2 ) 刪除 狀態 $2$ 階段性結果

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刪除 $2$ 狀態結果 :

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 3 ) 刪除 狀態 $1$ 信息梳理

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狀態 $1$ 信息梳理如下 ;

1 . $1$ 狀態信息輸入 :

$S$ 狀態 讀取 $\varepsilon$ 跳轉到 $1$ 狀態 ;

$3$ 狀態 讀取 $a$ 跳轉到 $1$ 狀態 ;

2 . $1$ 狀態信息輸出 :

$1$ 狀態讀取 $(ab^*a) \cup b$ 正則表達式 跳轉到 $3$ 狀態 ;

3 . 箭頭信息生成個數 : 外部輸入有 2 條 , 外部輸出 有 $1$ 條 , 需要生成的箭頭信息條數 :

$外部輸入條數 \times 外部輸出條數 = 2 \times 1 = 2$

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 3 ) 刪除 狀態 $1$ : $3$ -> $1$ -> $3$ 生成信息 $3$ -> $3$

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1 . $3$ -> $1$ -> $3$ 狀態跳轉 :

$3$ 狀態 讀取 $a$ 跳轉到 $1$ 狀態 , 正則表達式 表示爲 $a$ ;

$1$ 狀態 讀取 $(ab^*a) \cup b$ 正則表達式 跳轉到 $3$ , 正則表達式 表示爲 $(ab^*a) \cup b$ ;

2 . 正則表達式 : 上述兩個正則表達式是串聯關係 , 正則表達式表示爲 $a ( (ab^*a) \cup b )$

3 . 生成新的箭頭信息 :

新增加的 $3$ 狀態下讀取 $a ( (ab^*a) \cup b )$ 跳轉到 $3$ ;

與原來的 $3$ 讀取 $bb^*a$ 跳轉到 $3$ 是並聯關係 ,

最終的 $3$ 讀取一個正則表達手 跳轉到 $3$ 狀態 , 的正則表達式爲

$( \quad a \; ( \; (ab^*a) \cup b \; ) \quad ) \cup ( bb^*a )$

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 3 ) 刪除 狀態 $1$ : $S$ -> $1$ -> $3$ 生成信息 $S$ -> $3$

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1 . $S$ -> $1$ -> $3$ 狀態跳轉 :

$S$ 狀態 讀取 $\varepsilon$ 跳轉到 $1$ 狀態 , 正則表達式 表示爲 $\varepsilon$ ;

$1$ 狀態 讀取 $(ab^*a) \cup b$ 正則表達式 跳轉到 $3$ , 正則表達式 表示爲 $(ab^*a) \cup b$ ;

上述兩個正則表達式是串聯關係 , 正則表達式表示爲 $\varepsilon \cup ( (ab^*a) \cup b )$ , 其中 $\varepsilon$ 可以省略 , 最終表示爲 $(ab^*a) \cup b$

2 . 新增加 $S$ 狀態 到 $3$ 狀態之間的跳轉 : $S$ 狀態下讀取 $(ab^*a) \cup b$ 正則表達式 , 跳轉到 $3$ 狀態 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 2 ) 刪除 狀態 $2 , 1$ 階段性結果

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確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 4 ) 刪除 狀態 $3$ 信息梳理

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狀態 $3$ 信息梳理 :

1 . $3$ 狀態信息輸入 :

$S$ 狀態 讀取 $(ab^*a) \cup b$ 跳轉到 $3$ 狀態 ;

$3$ 狀態 讀取 $( \quad a \; ( \; (ab^*a) \cup b \; ) \quad ) \cup ( bb^*a )$ 跳轉到 $3$ 狀態 ;

2 . $3$ 狀態信息輸出 :

$3$ 狀態 讀取 $( \quad a \; ( \; (ab^*a) \cup b \; ) \quad ) \cup ( bb^*a )$ 跳轉到 $3$ 狀態 ;

$3$ 狀態讀取 $\varepsilon$ 正則表達式 跳轉到 $T$ 狀態 ;

3 . 箭頭信息生成個數 : 自身循環有一個 , 從 $3$ 狀態 自身輸出到輸入 , 外部輸入有 1 條 , 外部輸出 有 $1$ 條 , 需要生成的箭頭信息條數 :

$外部輸入條數 \times 外部輸出條數 = 1 \times 1 = 1$

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 ( 4 ) 刪除 狀態 $3$ : $S$ -> $3$ -> $T$ 生成信息 $S$ -> $T$

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1 . $S$ -> $3$ -> $T$ 狀態跳轉 :

$S$ 狀態 讀取 $(ab^*a) \cup b$ 跳轉到 $3$ 狀態 ;

$3$ 狀態 讀取 $( \quad a \; ( \; (ab^*a) \cup b \; ) \quad ) \cup ( bb^*a )$ 跳轉到 $3$ 狀態 , 星計算 , 表示成 $( \quad a \; ( \; (ab^*a) \cup b \; ) \quad ) \cup ( bb^*a )^*$

$3$ 狀態讀取 $\varepsilon$ 正則表達式 跳轉到 $T$ 狀態 ;

上述 $3$ 個正則表達式是串聯關係 , 正則表達式表示爲 :

$( (ab^*a) \cup b ) \circ ( \quad ( \quad a \; ( \; (ab^*a) \cup b \; ) \quad ) \cup ( bb^*a ) \quad )^*$

2 . 新增加 $S$ 狀態 到 $T$ 狀態之間的跳轉 : $S$ 狀態下讀取 $( (ab^*a) \cup b ) \circ ( \quad ( \quad a \; ( \; (ab^*a) \cup b \; ) \quad ) \cup ( bb^*a ) \quad )^*$ 正則表達式 , 跳轉到 $T$ 狀態 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 正則表達式 總結

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由上述示例可知 , 任何 確定性有限自動機 都可以轉爲 正則表達式 , 非確定性有限自動機 與 確定性有限自動機 又是等價的 , 因此 有限自動機 都可以轉爲 正則表達式 ;