【計算理論】Pumping 引理 ( 四個等價概念 | 自動機界限 | Pumping 引理簡介 | Pumping 引理證明正則表達式 | Pumping 引理示例分析 )

I . 四個等價概念

---

1 . 正則語言 : 給定一個語言 , 可以自動設計一個識別該語言的 自動機 ; 該語言必須是一個 正則表達式 表達的語言 ;

2 . 正則表達式可以轉成自動機 : 先構造 接受單字符自動機 , 然後通過串聯 並聯 或 星計算 , 拼裝成自動機 ; 這個轉化成的自動機是非確定性有限自動機 ( NFA ) , NFA 可以轉成 確定性有限自動機 ( DFA ) ;

3 . 自動機可以轉成正則表達式 : 給定一個自動機 , 逐個刪除自動機的狀態 , 最後刪除到只剩下開始狀態 與 接受狀態 兩個狀態 , 開始狀態 讀取 正則表達式 跳轉到接受狀態 , 這個正則表達式就是自動機轉成的 ;

確定性有限自動機 ( DFA ) 與 非確定性有限自動機 ( NFA ) 等價 , NFA 與 擴展型的非確定性有限自動機 ( GNFA ) 是等價的 , GNFA 可以寫成正則表達式語言 ( 正則語言 ) ;

上述 DFA , NFA , GNFA , 正則語言 概念是等價的 ;

II . 自動機界限

---

1 . 自動機界限 : 自動機 不是萬能的 , 它有一個界限 , 有的語言自動機可以識別 , 有的語言自動機無法識別 , 這樣就需要給有限自動機確定一個界限 ;

2 . 判斷語言是否能被自動機識別 : 如何判定一個語言是否是自動機能識別的語言 , 只需要判定該語言是否是正則語言即可 ;

① 語言是正則語言 : 如果該語言是正則語言 , 那麼該語言就可以被自動機識別 ;

② 語言不是正則語言 : 如果該語言不是正則語言 , 那麼該語言不能被自動機識別 ;

3 . 引入 Pumping 引理 : 如何判定語言是否是正則語言 , 這裏使用 Pumping 引理 , 可以判定一個語言是否是正則語言 ;

III . Pumping 引理

---

Pumping 引理 :

① 正則語言 : $A$ 是正則語言 ;

② 數字 : 存在數字 $p$ , 這個 $p$ 叫做 Pumping 長度 ;

③ 字符串 : $s$ 是 $A$ 語言中的字符串 , 其長度大於等於 $p$ ; ( 字符串兩個要求 )

④ 字符串分組及要求 : $s$ 可以分爲三個部分 , $s = xyz$ , 滿足如下要求 :

• $xy^iz \in A \quad ( i \geq 0 )$ : $i$ 表示中間的 $y$ 的重複次數 ;
• $|y| > 0$ : $y$ 是中間重複的部分 , 星計算部分 ;
• $|xy| \leq p$

IV . Pumping 引理 示例

---

1 . 正則語言 與 自動機 等價 : 如果語言 $A$ 是正則語言 , 該語言可以被有限自動機識別 ;

2 . 已知的語言 : $A$ 語言的字符串 $s = s_1 \; s_2 \; s_3 \; s_4 \; s_5 \; s_6 \; \cdots \; s_n \;$ , 字符串的長度爲 $n$ ;

3 . Pumping 引理中的字符串有兩個要求 :

① 長度要求 : 長度 $n$ 大於等於 Pumping 長度 $p$ ;

② 語言要求 : 字符串屬於語言 $A$ ;

4 . 假設 : 上述字符串可以被下面的自動機接受 ;

5 . 將上述字符串 $s$ 輸入到自動機中進行計算 :

$q_1$ 是自動機的開始狀態 , 讀取 $s_1$ 字符 , 就會跳轉到 $q_3$ 狀態 ;

$q_3$ 狀態下 , 讀取 $s_2$ 字符 , 就會跳轉到 $q_{20}$ 狀態 ;

$q_{20}$ 狀態下 , 讀取 $s_3$ 字符 , 就會跳轉到 $q_{9}$ 狀態 ;

$q_{9}$ 狀態下 , 讀取 $s_4$ 字符 , 就會跳轉到 $q_{17}$ 狀態 ;

$q_{17}$ 狀態下 , 讀取 $s_5$ 字符 , 就會跳轉到 $q_{9}$ 狀態 ;

$\vdots$

$q_{..}$ 狀態下 , 讀取 $s_n$ 字符 , 就會跳轉到 $q_{13}$ 狀態 ;

6 . 重複狀態說明 : 字符串 $s$ 的長度是大於 字符串輸入 自動機 過程中經過的狀態個數的 , 中間肯定有重複的狀態 ;

① 這個重複的狀態是 $q_9$ ;

② 將兩個 $q_9$ 中間的部分 $s_4 s_5$ 再重複幾遍 , 該字符串仍然可以被接受 ;

上圖就是 $s$ 字符串中的 $xyz$ 三部分 , 其中的 $y$ 部分可以無限重複 ;

V . 證明 語言 不是正則語言 步驟

---

證明步驟 : 使用 反正法 進行證明 ;

① 提出假設 : 首先假設該語言是正則的 ;

② Pumping 引理證明 : 存在長度至少爲 $p$ 的任何字符串 , 都滿足 Pumping 引理 的三個性質 ;

③ 矛盾 假設不成立 : 如果不滿足 Pumping 引理 , 說明上面假設該語言是正則語言 是不成立的 , 該語言不是正則語言 ;

VI . 證明 語言 不是正則語言 示例

---

證明 : $\{ 0^n 1^n : n \geq 0 \}$ 語言 不是正則語言 ;

提出假設 : 假設 $\{ 0^n 1^n : n \geq 0 \}$ 語言是正則語言 ;

引用 Pumping 引理 , 看上述語言是否符合該 Pumping 引理 ;

Pumping 長度 : 存在一個數字 $p$ ( Pumping 長度 ) , 使得任何長度至少爲 $p$ 的字符串 , 並且該字符串屬於 $\{ 0^n 1^n : n \geq 0 \}$ 語言 ;

滿足 Pumping 引理 的三個條件 :

• $xy^iz \in A \quad ( i \geq 0 )$
• $|y| > 0$
• $|xy| \leq p$

如果所有的字符串都滿足上述上個條件 , 說明該語言是正則語言 , 如果找出了一個字符串不滿足上述條件 , 該語言就不是正則語言 ;

按照上述提出的證明步驟 , 證明該字符串不是正則表達式 ;

1 . 選擇反例字符串 : 目的是證明 正則表達式不成立 , 選擇的是反例 ;

① 反例選擇 : 選擇字符串 $s = 0^p 1^p$ , 該字符串有 $p$ 個 $0$ 和 $p$ 個 $1$ 字符組成 ;

② Pumping 引理條件 : 將上述字符串分成 $s = xyz$ 三個部分 , 看是否滿足 Pumping 引理的三個條件 ;

2 . $y$ 出現三種情況 :

• $y$ 全部由 $0$ 組成
• $y$ 全部由 $1$ 組成
• $y$ 全部由 $0,1$ 組成 ;

如果上述每種情況都出現矛盾 , 說明假設不成立 ;

3 . $y$ 全部由 $0$ 組成 情況分析 :

① 假設 : 假設 $y$ 全部由 $0$ 組成 , 其不停的重複 , 得到的新字符串 , 仍然屬於 $A$ 語言 ;

② $y$ 重複後不符合要求 : 但是 $0$ 重複若干次之後 , $0$ 的個數就大於 $1$ 的個數了 , 此時不符合 $s = 0^p 1^p$ 要求了 , 因此這種情況不成立 ;

4 . $y$ 全部由 $1$ 組成 情況分析 :

① 假設 : 假設 $y$ 全部由 $1$ 組成 , 其不停的重複 , 得到的新字符串 , 仍然屬於 $A$ 語言 ;

② $y$ 重複後不符合要求 : 但是 $1$ 重複若干次之後 , $1$ 的個數就大於 $0$ 的個數了 , 此時不符合 $s = 0^p 1^p$ 要求了 , 因此這種情況不成立 ;

5 . $y$ 全部由 $0,1$ 組成 情況分析 :

① 假設 : 假設 $y$ 全部由 $0,1$ 組成 , 其不停的重複 , 得到的新字符串 , 仍然屬於 $A$ 語言 ;

② $y$ 重複後不符合要求 : 但是 $0,1$ 重複若干次之後 , 就會打亂 $s = 0^p 1^p$ 字符串中 $0,1$ 的相互順序 , 其中 $0,1$ 不能存在交叉 , 因此這種情況不成立 ;

經過上述討論 , $y$ 的三種情況都不符合 Pumping 引理 , 因此 $\{ 0^n 1^n : n \geq 0 \}$ 語言不是正則語言 ;