手把手教系列之IIR濾波器設計

[導讀]：在嵌入式系統中經常需要採集模擬信號，採集模擬信號的信號鏈中難免引入干擾，那麼如何濾除干擾呢？今天就來個一步一步描述如何設計部署一個IIR濾波器到你的系統。

何爲IIR濾波器？

無限衝激響應（IIR： Infinite Impulse Response）是一種適用於許多線性時不變系統的屬性，這些系統的特徵是具有一個衝激響應h（t），該衝激響應h（t）不會在特定點上完全變爲零，而是無限期地持續。 這與有限衝激響應（FIR： Finite Impulse Response）系統形成對比，在有限衝激響應（FIR）系統中，對於某個有限T，在時間t> T時，衝激響應確實恰好變爲零。 線性時不變系統的常見示例是大多數電子和數字濾波器。 具有此屬性的系統稱爲IIR系統或IIR濾波器。

這是常見的教科書式數學嚴謹定義，很多人看到這一下就蒙了，能說人話嗎？

線性時不變系統理論俗稱LTI系統理論，源自應用數學，直接在覈磁共振頻譜學、地震學、電路、信號處理和控制理論等技術領域運用。它研究的是線性、非時變系統對任意輸入信號的響應。雖然這些系統的軌跡通常會隨時間變化（例如聲學波形）來測量和跟蹤，但是應用到圖像處理和場論時，LTI系統在空間維度上也有軌跡。因此，這些系統也被稱爲線性非時變平移，在最一般的範圍理論給出此理論。在離散（即採樣）系統中對應的術語是線性非時變平移系統。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個很好的例子。比如一個運放系統在一定頻帶範圍內滿足信號的時域疊加，輸入一個100Hz和200Hz正弦信號，輸出頻率是這兩種信號的線性疊加。

用數學對LTI系統描述：

線性：輸入\(x_1(t)\),產生響應\(y_1(t)\),而輸入\(x_2(t)\),產生響應\(y_2(t)\),那麼縮放和加和輸入\(a_1x_1(t)+a_2x_2(t)\),產生縮放、加和的響應\(a_1y_1(t)+a_2y_2(t)\),其中\(a_1\)和\(a_2\)是標量，對於任意的有：輸入\(\sum_{k=0}^{N}a_kx_k(t)\),產生響應\(\sum_{k=0}^{N}a_ky_k(t)\)

時不變性：指如果將系統的輸入信號延遲\(\tau\)秒，那麼得到的輸出響應也相應延時\(\tau\)秒。用數學描述，也即如果輸入\(x_1(t)\),產生響應\(y_1(t)\),而輸入\(x_1(t+\tau)\)，產生響應\(y_1(t+\tau)\)。這麼描述還是不易懂，來個圖，有圖有真相：

假定一個信號放大電路對100Hz正弦信號放大2倍：

則輸出爲：

而對200Hz的正弦信號，其放大倍數爲1.7倍。（做過運放電路設計的朋友應該有經驗，在其同頻帶其放大倍數往往並不平坦，也即幅頻響應在頻帶內不平坦，這是比較常見的）。

也即輸入爲：

響應爲:

那麼如果輸入100Hz和200Hz的時域疊加信號，則其輸入爲：

則其響應爲：

由這些圖可看出，輸入信號的形狀保持不變，輸出爲對應輸入的線性時域疊加。

對於時不變，就不用圖描述了，在一個真實電路中，如果輸入延遲一定時間，則響應對應延遲相同時間輸出。

上面這麼多文字只是爲了描述在什麼場合可以使用IIR濾波器對信號進行數字濾波。總結而言，就是在線性時不變系統中適用。換言之，在大多數電路系統中我們都可以嘗試採用IIR濾波器進行數字濾波。

那麼究竟什麼是IIR濾波器呢？從數字信號處理的書籍中我們能看到這樣的Z變換信號流圖：

表示延遲一拍,在數字系統中表示對於輸入信號而言,即爲上一次採樣值,對於輸出而言,即爲上一次的輸出值。

在時域中對於上述流圖，用時域描述即爲：

如果熟悉Z變換，則Z變換傳遞函數爲：

上述數字濾波器，如果從編程的角度來看，x(n-1),表示上一次的信號，可能是來自ADC的上次採樣，而y(n-1)則爲上一次濾波器的輸出值，對應就比較好理解x(n-N)就表示前第n次輸入樣本信號，而y(n-M)則爲前第M次濾波器的輸出。

說了這麼多，只是爲了更好的理解概念，只有概念理解正確，才能用爭取。 概念理解這對工程師而言，非常之重要。

如何設計呢？

打開fdatool

MATLAB提供了非常容易使用的FDATool幫助我們設計數字濾波器，真正精彩的地方開始了，讓我們拭目以待究竟如何一步一步設計並實施一個IIR濾波器。

首先打開MATLAB,在命令行中敲fdatool

彈出窗體就是fdatool了，如下：

在設計具體,有幾個相關概念需要澄清：

Fs：採樣率，單位爲Hz,真實部署在系統中，請務必確保樣本是按照恆定採樣率進行採樣，否則將得不到想要的效果。

Fpass: 通頻帶，單位爲Hz,即系統中期望通過的最高頻率。

Fstop: 截至頻率，即幅頻響應的-3dB處的頻率，這個如不理解，請自行查閱相關書籍。

分貝dB: 這是一個無單位反應輸出與輸入倍數的一個術語。電學中分貝與放大倍數的轉換關係爲：

• A(V)(dB)=20lg(Vo/Vi)；電壓增益,Vo 爲輸出電壓，Vi爲輸入電壓
• A(I)(dB)=20lg(Io/Ii)；電流增益,Io 爲輸出電流，Ii爲輸入電流
• A(p)(dB)=10lg(Po/Pi)；功率增益，Po 爲輸出功率，Pi爲輸入功率

濾波器類型：這裏有Butterworth(巴特沃斯)、Chebyshev Type I,Chebyshev Type II、(切比雪夫)、Elipic 等可選。

• 巴特沃斯 Butterworth，也被稱作最大平坦濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有紋波。
• 切比雪夫 Chebyshev，是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如後者平坦。
• 橢圓 Elliptic，橢圓濾波器是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。
• ...這裏就不一一介紹了，有興趣可以去查信號處理書籍。

就其特點，這裏對其中幾種略作介紹：

• 巴特沃斯具有最平坦的通帶。
• 橢圓濾波器衰減最快，但是通帶、阻帶都有波紋。
• 切比雪夫濾波器衰減比巴特沃斯快，但比橢圓濾波器慢，波紋區域可選擇。

假設我們需要設計一個IIR濾波器，採樣率爲32000Hz, 有用信號頻率在2000Hz內，設計IIR濾波器對信號進行數字濾波。這裏爲節省算力，我們指定濾波器的階數，也即傳遞函數中N/M中的最大值，一般而言N大於M。

這裏指定階數爲8階，類型指定爲巴特沃斯型IIR濾波器，輸入階數8階，採樣率32000Hz,截至頻率設置爲2000Hz然後點擊Design Filter如下圖所示：

其相頻響應曲線如下：

楚辭之外，我們還可以將幅頻與相頻曲線放在一個頻率座標上去看設計結果：

導出濾波器參數，這裏我們選擇，

選擇ASCII碼

然後就得到了一個文件，保存2kHz_LPF.fcf，文件名隨你喜歡。

文件內容如下：

% Generated by MATLAB(R) 8.4 and the Signal Processing Toolbox 6.22.
% Generated on: 27-Mar-2020 21:27:06

% Coefficient Format: Decimal

% Discrete-Time IIR Filter (real)                            
% -------------------------------                            
% Filter Structure    : Direct-Form II, Second-Order Sections
% Number of Sections  : 4                                    
% Stable              : Yes                                  
% Linear Phase        : No                                   

                                                            
SOS Matrix:                                                  
1  2  1  1  -1.7193929141691948  0.8610574795347461          
1  2  1  1  -1.5237898734101736  0.64933827386370635         
1  2  1  1  -1.4017399331200424  0.51723237044751591         
1  2  1  1  -1.3435020629061745  0.45419615396638446         
                                                             
Scale Values:                                                
0.035416141341387819                                         
0.031387100113383172                                         
0.028873109331868367                                         
0.027673522765052503                                          
 

至此設計工作就結束了，馬上進入濾波器的部署測試階段。

部署測試濾波器

到這裏，沒有經驗的朋友可能會說，這麼一堆參數我該咋用呢？

需要自己去寫前面描述的計算公式嗎？當然你也可以這麼做，這裏就不寫了,ARM的CMSIS庫已經幫大家設計好了種類繁多的數字信號處理函數實現了，而且經過了測試，這裏直接拿來用即可。有興趣自己寫也不難，只要理解Z傳遞函數概念內涵，非常容易實現。這裏我們採用32位浮點實現函數：arm_biquad_cascade_df1_f32。

該函數位於：CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c中

以及CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_f32.c

我們來看一看這個函數：

arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c：

/*
*作用      :初始化濾波器
*S        :指向浮點SOS級聯結構的實例。
*numStages:濾波器中二階SOS的數量
*pCoeffs  :濾波器參數指針,參數按下列順序存儲
*          {b10, b11, b12, a11, a12, b20, b21, b22, a21, a22, ...}
*pState   :歷史狀態緩衝區指針
*/
void arm_biquad_cascade_df1_init_f32(
        arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
        uint8_t numStages,
  const float32_t * pCoeffs,
        float32_t * pState)
{
  /* Assign filter stages */
  S->numStages = numStages;

  /* Assign coefficient pointer */
  S->pCoeffs = pCoeffs;

  /* Clear state buffer and size is always 4 * numStages */
  memset(pState, 0, (4U * (uint32_t) numStages) * sizeof(float32_t));

  /* Assign state pointer */
  S->pState = pState;
}

arm_math.h 定義了須用到的結構體，對於本例相關的結構體爲arm_biquad_casd_df1_inst_f32

typedef struct
{
  unsigned int numStages; /*2階節的個數，應爲2*numStages.        */
  float *pState;          /*狀態係數數組指針，數組長度爲4*numStages*/
  float *pCoeffs;         /*係數數組指針， 數組的長度爲5*numStages.*/
} arm_biquad_casd_df1_inst_f32;

濾波器具體濾波函數爲arm_biquad_cascade_df1_f32

/**
 *  *S       ：指向浮點Biquad級聯結構的實例.
 *  *pSrc    ：指向輸入數據塊。
 *  *pDst    ：指向輸出數據塊。
 *  blockSize：每次調用要處理的樣本數。
 *  返回值    ：無.
 */
void arm_biquad_cascade_df1_f32(
  const arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
  float * pSrc,
  float * pDst,
  unsigned int blockSize)
{
  float *pIn = pSrc;                         /*源指針     */
  float *pOut = pDst;                        /*目的指針    */
  float *pState = S->pState;                 /*狀態指針    */
  float *pCoeffs = S->pCoeffs;               /*參數指針    */
  float acc;                                 /*累加器      */
  float b0, b1, b2, a1, a2;                  /*濾波器參數   */
  float Xn1, Xn2, Yn1, Yn2;                  /*濾波器狀態變量*/
  float Xn;                                  /*臨時輸入     */
  unsigned int sample, stage = S->numStages; /*循環計數     */

  do
  {
    /* Reading the coefficients */
    b0 = *pCoeffs++;
    b1 = *pCoeffs++;
    b2 = *pCoeffs++;
    a1 = *pCoeffs++;
    a2 = *pCoeffs++;

    Xn1 = pState[0];
    Xn2 = pState[1];
    Yn1 = pState[2];
    Yn2 = pState[3];

    sample = blockSize >> 2u;

    while(sample > 0u)
    {
      /* 讀第一個輸入 */
      Xn = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn2 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);

      /* Store the result in the accumulator in the destination buffer. */
      *pOut++ = Yn2;

      /* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
      /* 狀態應更新爲:  */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */

      /* Read the second input */
      Xn2 = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn1 = (b0 * Xn2) + (b1 * Xn) + (b2 * Xn1) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);

      /* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
      *pOut++ = Yn1;

      /* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
      /* 狀態應更新爲:  */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */

      /*讀第三個輸入 */
      Xn1 = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn2 = (b0 * Xn1) + (b1 * Xn2) + (b2 * Xn) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);

      /* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
      *pOut++ = Yn2;

      /* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
      /* 狀態應更新爲: */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */
      /* 讀第四個輸入 */
      Xn = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn1 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);

      /* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
      *pOut++ = Yn1;

      /* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
      /* 狀態應更新爲:  */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */
      Xn2 = Xn1;
      Xn1 = Xn;

      /* 遞減循環計數器 */
      sample--;
    }

    /* 如果blockSize不是4的倍數，
    *請在此處計算任何剩餘的輸出樣本。
    *不使用循環展開. */
    sample = blockSize & 0x3u;

    while(sample > 0u)
    {
      /* 讀取輸入 */
      Xn = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      acc = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);

      /* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
      *pOut++ = acc;

      /* 每次計算輸出後，狀態都應更新。 */
      /* 狀態應更新爲:    */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */
      Xn2 = Xn1;
      Xn1 = Xn;
      Yn2 = Yn1;
      Yn1 = acc;

      /* d遞減循環計數器 */
      sample--;
    }

    /*  將更新後的狀態變量存儲回pState數組中 */
    *pState++ = Xn1;
    *pState++ = Xn2;
    *pState++ = Yn1;
    *pState++ = Yn2;

    /*第一階段從輸入緩衝區到輸出緩衝區.     */
    /*隨後的numStages在輸出緩衝區中就地發生*/
    pIn = pDst;

    /* 重置輸出指針 */
    pOut = pDst;

    /* 遞減循環計數器 */
    stage--;

  } while(stage > 0u);
}

開始測試：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
/*
SOS Matrix:                                                  
1  2  1  1  -1.7193929141691948  0.8610574795347461          
1  2  1  1  -1.5237898734101736  0.64933827386370635         
1  2  1  1  -1.4017399331200424  0.51723237044751591         
1  2  1  1  -1.3435020629061745  0.45419615396638446         
                                                             
Scale Values:                                                
0.035416141341387819                                         
0.031387100113383172                                         
0.028873109331868367                                         
0.027673522765052503  
做如下轉換：
1.縮放
[1  2  1] * 0.035416141341387819
[1  2  1] * 0.031387100113383172
[1  2  1] * 0.028873109331868367
[1  2  1] * 0.027673522765052503
得到：
[0.035416141341387819  2*0.035416141341387819  0.035416141341387819]
[0.031387100113383172  2*0.031387100113383172  0.031387100113383172] 
[0.028873109331868367  2*0.028873109331868367  0.028873109331868367] 
[0.027673522765052503  2*0.027673522765052503  0.027673522765052503]
2.舍掉第四列參數
3.將後兩列分別乘以-1，即：
0.035416141341387819  2*0.035416141341387819  0.035416141341387819  -1.7193929141691948  0.8610574795347461          
0.031387100113383172  2*0.031387100113383172  0.031387100113383172  -1.5237898734101736  0.64933827386370635         
0.028873109331868367  2*0.028873109331868367  0.028873109331868367  -1.4017399331200424  0.51723237044751591         
0.027673522765052503  2*0.027673522765052503  0.027673522765052503  -1.3435020629061745  0.45419615396638446 
這樣就得到了濾波器係數組了
*/
#define IIR_SECTION 4                /*見前面設計輸出爲4個SOS塊*/
static float iir_state[4*IIR_SECTION];/*歷史狀態緩衝區         */
const float iir_coeffs[5*IIR_SECTION]={
    0.035416141341387819,2*0.035416141341387819,0.035416141341387819,1.7193929141691948,-0.8610574795347461,    0.031387100113383172,2*0.031387100113383172,0.031387100113383172,1.5237898734101736,-0.64933827386370635,    0.028873109331868367,2*0.028873109331868367,0.028873109331868367,1.4017399331200424,-0.51723237044751591,    0.027673522765052503,2*0.027673522765052503,0.027673522765052503,1.3435020629061745,-0.45419615396638446
};
static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
/*假定採樣512個點*/
#define BUF_SIZE 512
#define PI 3.1415926
#define SAMPLE_RATE  32000 /*32000Hz*/
int main()
{
    float raw[BUF_SIZE];
    float raw_4k[BUF_SIZE];
    float raw_out[BUF_SIZE];

    float raw_noise[BUF_SIZE];
    float raw_noise_out[BUF_SIZE];

    arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
    FILE *pFile=fopen("./simulation.csv","wt+");
    if(pFile==NULL)
    {
        printf("file opened failed");
        return -1;
    }

    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
    /*模擬9000Hz輸入信號         */
        raw[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*800*i/32000.0f)+rand()%50;
        raw_4k[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*4000*i/32000.0f);
    /*模擬9000Hz +11000Hz疊加輸入*/
        raw_noise[i] = raw[i] + raw_4k[i];
    }

    arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
    arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw, raw_out, BUF_SIZE);

    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
       fprintf(pFile,"%f,",raw[i]);
    }

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_4k[i]);
    }
    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_out[i]);
    }

    /*重新初始化*/
    arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
    arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw_noise, raw_noise_out, BUF_SIZE);

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_noise[i]);
    }

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_noise_out[i]);
    }

    fclose(pFile);

    return 0;
}

利用csv文件，將模擬數據存儲，直接用excel打開，將行數據生成曲線圖如下：

• 第一幅圖，爲800Hz信號混入隨機噪聲的波形
• 第二幅圖，爲4000Hz信號，對假定系統爲無用干擾信號
• 第三幅圖， 爲800Hz 混入隨機噪聲過濾後，已經很好的還原有用信號頻率
• 第四幅圖， 爲800Hz信號混入隨機噪聲，同時疊加4000Hz干擾的波形，對系統而言，從時域中，明顯可見，有用信號已經完全扭曲
• 第五幅圖，爲800Hz信號混入隨機噪聲，同時疊加4000Hz干擾的輸入，經過該低通濾波器後的波形，與第三幅圖基本一樣，已經非常好的濾除了干擾信號。

總結：

• IIR濾波器在線性時不變系統中可以很好的解決工程中一般噪聲問題

• 如果需要設計帶通、高通濾波器其步驟基本類似，只是濾波器的參數以及SOS塊個數可能不一樣而已

• 需要提醒的時，IIR的相頻響應不線性，如果系統對相頻響應有嚴格要求，就需要採用其他的數字濾波器拓撲形式了

• 實際應用中，如果階數不高時，現在算力強勁的單片機或者DSP以及可以直接使用浮點處理。

• 如果對處理速度有嚴格的實時要求，需要在極短時間進行濾波處理，可以考慮降低階數，或採用定點IIR濾波算法實現。也或者將文中函數進行彙編級優化。

文章出自微信公衆號：嵌入式客棧，關注公衆號，獲取更新更多內容