SG函数与SG定理
必胜点和必败点的概念：
P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。
必胜点和必败点的性质：
1、所有终结点是 必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）
2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。
3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。
我们研究必胜点和必败点的目的时间为题进行简化，有助于我们的分析。通常我们分析必胜点和必败点都是以终结点进行逆序分析。我们以hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!为例：
当 n = 0 时，显然为必败点，因为此时你已经无法进行操作了
当 n = 1 时，因为你一次就可以拿完所有牌，故此时为必胜点
当 n = 2 时，也是一次就可以拿完，故此时为必胜点
当 n = 3 时，要么就是剩一张要么剩两张，无论怎么取对方都将面对必胜点，故这一点为必败点。
以此类推，最后你就可以得到；
n ： 0 1 2 3 4 5 6 …
position： P N N P N N P …
你发现了什么没有，对，他们就是成有规律，使用了 P/N来分析，有没有觉得问题变简单了。
现在给你一个稍微复杂一点点的： hdu 2147 kiki’s game
现在我们就来介绍今天的主角吧。组合游戏的和通常是很复杂的，但是有一种新工具，可以使组合问题变得简单————SG函数和SG定理。
Sprague-Grundy定理（SG定理）：
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。对博弈不是很清楚的请参照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html进行进一步理解。
SG函数：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG©，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG©}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推…
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8…
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1…
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。
代码实现如下：
//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
//因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
for(i = 1; i <= n; i++){
//每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
memset(S,0,sizeof(S));
for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记
for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
SG[i] = j;
break;
}
}
}
hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N=100003;
int n,m,j,k,l,i;
int f[N],sg[N],s[N];
void getsg()
{
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(i=1;i<=1000;i++)
{
memset(s,0,sizeof(s));
for(j=0;f[j]<=i&&j<=15;j++)
{
s[sg[i-f[j]]]=1;
}
for(j=0;;j++)
if(s[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
int main()
{
f[0]=1;
for(i=1;i<=15;i++)
f[i]=2*f[i-1];
getsg();
while(cin>>n)
{
if(sg[n]==0)
cout<<"Cici"<<endl;
else
cout<<"Kiki"<<endl;
}
return 0;
}
现在我们来一个实战演练（题目链接）：
只要按照上面的思路，解决这个就是分分钟的问题。
代码如下：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N=1003;
int n,m,j,k,l,i;
int f[N],s[N],sg[N];
void getsg()
{
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(i=1;i<=N;i++)
{
memset(s,0,sizeof(s));
for(j=0;f[j]<=i&&j<=20;j++)
{
s[sg[i-f[j]]]=1;
}
for(j=0;;j++)
{
if(s[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
}
int main()
{
f[0]=f[1]=1;
for(i=2;i<=20;i++)
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
getsg();
while(true)
{
cin>>n>>m>>k;
if(n==0&&m==0&&k==0)
break;
int ans=0;
ans=sg[n]^sg[m]^sg[k];
if(ans!=0)
cout<<"Fibo"<<endl;
else
cout<<"Nacci"<<endl;
}
return 0;
}