題有毒，還是智力有問題——瓶水有毒[智力題？！](智力喚醒、簡單代碼、公平性)

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一、智力題？？！

有1000瓶水，其中有一瓶有毒，小白鼠只要嘗一點帶毒的水24小時內就會死亡，至少要多少隻小白鼠才能在24小時內鑑別出哪瓶水有毒？【題目肯定經不起吃瓜大衆的推敲，我們還是按出題人的思路來！】

二、思路

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對不起，剛開始跑偏了。
自詡數學基礎好、生活經驗豐富的我，思緒飄過二叉樹、布隆過濾器，在奧卡姆剃刀指引下，最終迴歸最基礎的二進制(如果是1024瓶水，保證不跑偏！)。
實際的心路歷程是這樣的：

1. 我的智商可能有問題？
2. 我的智商難道有問題？？？
3. 我的智商真的有問題！
   好吧，承認智商有問題後，路就好走了！笨人文化——枚舉！！！
4. 總共一瓶水，其中一瓶水有毒，不用抓小白鼠。
5. 總共兩瓶水，其中一瓶水有毒，抓一隻小白鼠，試喝其中任一瓶，24小時後犧牲了，該瓶水有毒，另一瓶無毒；反之，該瓶水無毒，另一瓶水有毒。【最多犧牲1只小白鼠】
6. 總共三瓶水(編號1、2、3)，需要抓兩隻小白鼠，第一隻小白鼠喝瓶1水；第二隻小白鼠喝瓶2水；24小時後，如果有小白鼠犧牲，對應的瓶水有毒；如果都活着，瓶3水有毒。【最多犧牲1只小白鼠】
7. 總共四瓶水(編號1、2、3、4)，需要抓兩隻小白鼠，第一隻小白鼠喝瓶1、3水各1滴；第二隻小白鼠喝瓶2、3水各1滴；24小時後，如果只有第一隻小白鼠犧牲了，瓶1水有毒；如果只有第二隻小白鼠犧牲了，瓶2水有毒；如果兩隻小白鼠都犧牲了，瓶3水有毒；如果都活着，瓶4水有毒。【最多犧牲2只小白鼠】
   ……
   簡而言之：不同瓶號的水，讓不同小白鼠組合來喝；根據犧牲的小白鼠組合，可反推出哪瓶水有毒。
   終於回憶起二進制這個熟悉的陌生人了！

三、二進制表示

【小白鼠從右往左編號】
第一瓶水，取一滴只給第一隻小白鼠喝，二進制表示0000000001；
第二瓶水，取一滴只給第二隻小白鼠喝，二進制表示0000000010；
第三瓶水，取兩滴，分別給第一隻、第二隻小白鼠喝，二進制表示0000000011；
第四瓶水，取一滴只給第三隻小白鼠喝，二進制表示0000000100；
第五瓶水，取兩滴，分別給第一隻、第三隻小白鼠喝，二進制表示0000000101；
第六瓶水，取兩滴，分別給第二隻、第三隻小白鼠喝，二進制表示0000000110；
第七瓶水，取三滴，分別給第一隻、第二隻、第三隻小白鼠喝，二進制表示0000000111；
……
第511瓶水，二進制表示0111111111；
……
第767瓶水，二進制表示1011111111；
……
第999瓶水，二進制表示1111100111；
第1000瓶水，二進制表示1111101000。
【因10個二進制位最多可以表示0～1023共1024種狀態，1024＞1000，因此可以將任意一瓶的二進制表示替換成0000000000(所有小白鼠都不喝)，其它瓶仍然按照編號對應的二進制】

四、簡單python代碼實現

4.1 假設有毒水瓶號，斷言犧牲的小白鼠編號

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def mouse(n):
    mouse_die = []
    i = 1
    while n:
        n, m = divmod(n, 2)
        if m:
            mouse_die.append(i)
        i += 1
    return mouse_die

print('第5瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號：', mouse(5))
print('第21瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號：', mouse(21))
print('第511瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號：', mouse(511))
print('第767瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號：', mouse(767))
print('第999瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號：', mouse(999))
print('第1000瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號：', mouse(1000))

運行結果：

第5瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號： [1, 3]
第21瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號： [1, 3, 5]
第511瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號： [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
第767瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號： [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10]
第999瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號： [1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10]
第1000瓶水有毒時，犧牲的小白鼠編號： [4, 6, 7, 8, 9, 10]

4.2 根據犧牲的小白鼠編號組合，反推有毒水瓶號

def water(lt):
    water_num = 0
    for i in lt:
        water_num += 2 ** (i - 1)
    return water_num
    
print('犧牲的小白鼠編號爲:[1, 3]時，有毒的水瓶號是：', water([1, 3]))
print('犧牲的小白鼠編號爲:[1, 3, 5]時，有毒的水瓶號是：', water([1, 3, 5]))
print('犧牲的小白鼠編號爲:[1, 3, 6, 7, 8]時，有毒的水瓶號是：', water([1, 3, 6, 7, 8]))

運行結果：

犧牲的小白鼠編號爲:[1, 3]時，有毒的水瓶號是： 5
犧牲的小白鼠編號爲:[1, 3, 5]時，有毒的水瓶號是： 21
犧牲的小白鼠編號爲:[1, 3, 6, 7, 8]時，有毒的水瓶號是： 229

五、公平性說明

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善良的小夥伴，不必像我一樣擔心第一隻小白鼠喝太多撐着(或犧牲概率太大)，每隻小白鼠喝的基本一樣多(賭中死亡輪盤的概率是一樣的)。
第一隻小白鼠(試喝1、3、5、……)，隔1瓶(號)試喝1瓶(號)裏的一滴水。
第二隻小白鼠(試喝2、3、6、7、10、11、……），隔2瓶(號)試喝2瓶(號)裏的一滴水。
第三隻小白鼠(試喝4、5、6、7、12、13、14、15、……），隔4瓶(號)試喝4瓶(號)裏的一滴水。
……
第十隻小白鼠(前面511瓶不用試喝，後面都試喝)。
如果是1024瓶水，每隻小白鼠都喝512瓶(所有小白鼠都不喝第1024瓶)，第十隻小白鼠(試喝512、513、514、……、1023)。

5.1 排列組合角度看公平性

十隻小白鼠都犧牲或都活着的組合：$C_{10}^0 = C_{10}^{10} = \frac{10!}{0! × (10-0)!} = 1$
十隻小白鼠犧牲一隻或倖存一隻的組合：$C_{10}^1 = C_{10}^9 = \frac{10!}{1! × (10-1)!} = 10$
十隻小白鼠犧牲二隻或倖存二隻的組合：$C_{10}^2 = C_{10}^8 = \frac{10!}{2! × (10-2)!} = 45$
十隻小白鼠犧牲三隻或倖存三隻的組合：$C_{10}^3 = C_{10}^7 = \frac{10!}{3! × (10-3)!} = 120$
十隻小白鼠犧牲四隻或倖存四隻的組合：$C_{10}^4 = C_{10}^6 = \frac{10!}{4! × (10-4)!} = 210$
十隻小白鼠犧牲五隻或倖存五隻的組合：$C_{10}^5 = \frac{10!}{5! × (10-5)!} = 252$
可以發現：$2^{10} = 1024 = \displaystyle \sum_{i = 0} ^{10} C_{10} ^i$
組合是沒有順序的，機會均等，因此每隻小白鼠犧牲的概率是一樣的。

六、結論：

1. 需要10只小白鼠，來實現任務目標；
2. 每隻小白鼠的使命和壯烈概率基本相同；
3. 最幸運的情形，所有小白鼠都倖存；
   【比如將1000的二進制表示替換成0000000000，即第1000瓶不給小白鼠喝】
4. 最不幸的情形，只有一隻小白鼠倖存。

向獻身醫學的小白鼠致敬！！！
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