【程序人生】數據結構雜記（七）

說在前面

個人讀書筆記

查找

所謂的查找或搜索(search)，指從一組數據對象中找出符合特定條件者，這是構建算法的一種基本而重要的操作。其中的數據對象，統一地表示和實現爲詞條(entry)的形式；不同詞條之間，依照各自的關鍵碼(key)彼此區分。根據身份證號查找特定公民，根據車牌號查找特定車輛，根據國際統一書號查找特定圖書，均屬於根據關鍵碼查找特定詞條的實例。

查找與數據對象的物理位置或邏輯次序均無關。實際上，查找的過程與結果，僅僅取決於目標對象的關鍵碼，故這種方式亦稱作循關鍵碼訪問(call-by-key)。

詞條對象擁有成員變量key和value。前者作爲特徵，是詞條之間比對和比較的依據；後者爲實際的數據。

詞條的判等與比較等操作可以通過關鍵碼的判等與比較實現。當然，這裏隱含地做了一個假定——所有詞條構成一個全序關係，可以相互比對和比較。需指出的是，這一假定條件不見得總是滿足。比如在人事數據庫中，作爲姓名的關鍵碼之間並不具有天然的大小次序。另外，在任務相對單純但更加講求效率的某些場合，並不允許花費過多時間來維護全序關係，只能轉而付出有限的代價維護一個偏序關係。

搜索樹

高效率的動態修改兼顧高效率的靜態查找

二叉搜索樹

在所謂的二叉搜索樹(binary search tree)中，處處都滿足順序性：
任一節點r的左(右)子樹中，所有節點(若存在)均不大於(不小於)r

任何一棵二叉樹是二叉搜索樹，當且僅當其中序遍歷序列單調非降：

查找

二叉搜索樹的查找算法，亦採用了減而治之的思路與策略，其執行過程可描述爲：
從樹根出發，逐步地縮小查找範圍，直到發現目標(成功)或縮小至空樹(失敗)

如上圖查找關鍵碼22的過程：
首先，經與根節點16比較確認目標關鍵碼更大，故深入右子樹25遞歸查找；經比較發現目標關鍵碼更小，故繼續深入左子樹19遞歸查找；經再次比較確認目標關鍵碼更大後，深入右子樹22遞歸查找；最終在節點22處匹配，查找成功。

一般地，在上述查找過程中，一旦發現當前節點爲NULL，即說明查找範圍已經縮小至空，查找失敗；否則，視關鍵碼比較結果，向左(更小)或向右(更大)深入，或者報告成功(相等)。

上面是在子樹$v$中查找關鍵碼$e$的算法。節點的插入和刪除操作，都需要首先調用查找算法，並根據查找結果確定後續的處理方式。因此，這裏以引用方式傳遞(子)樹根節點，以爲後續操作提供必要的信息。所謂引用傳遞是指在調用函數時將實際參數的地址傳遞到函數中，那麼在函數中對參數所進行的修改，將影響到實際參數。

當二叉搜索樹退化爲(接近於)一條單鏈時，此時的單次查找可能需要線性時間，因爲實際上這樣的一棵“二分”搜索樹，已經退化成了一個不折不扣的一維有序列表，而此時的查找則等效於順序查找。
由此我們可得到啓示：
若要控制單次查找在最壞情況下的運行時間，須從控制二叉搜索樹的高度入手

插入

以如上圖中$(a)$所示的二叉搜索樹爲例。若欲插入關鍵碼40，則在執行search(40)之後，如圖$(b)$所示，_hot將指向比較過的最後一個節點46，同時返回其左孩子(此時爲空)的位置。於是接下來如圖$(c)$所示，只需創建新節點40，並將其作爲46的左孩子接入，拓撲意義上的節點插入即告完成。

不過，爲保持二叉搜索樹作爲數據結構的完整性和一致性，還需從節點_hot(46)出發，自底而上地逐個更新新節點40歷代祖先的高度。

接下來若欲插入關鍵碼55，則在執行search(55)之後如圖$(c)$所示，_hot將指向比較過的最後一個節點53，同時返回其右孩子(此時爲空)的位置。於是如圖$(d)$所示，創建新節點55，並將其作爲53的右孩子接入。當然，此後同樣需從節點_hot出發，逐代更新祖先的高度。

注意，按照以上實現方式，無論插入操作成功與否，都會返回一個非空位置，且該處的節點與擬插入的節點相等。如此可以確保一致性，以簡化後續的操作。

刪除

以上圖中$(a)$所示二叉搜索樹爲例。若欲刪除節點69，需首先通過search(69)定位待刪除節點(69)。因該節點的右子樹爲空，故只需如圖$(b)$所示，將其替換爲左孩子(64)，則拓撲意義上的節點刪除即告完成。
當然，爲保持二叉搜索樹作爲數據結構的完整性和一致性，還需更新全樹的規模記錄，釋放被摘除的節點(69)，並自下而上地逐個更新替代節點(64)歷代祖先的高度。

注意，首個需要更新高度的祖先(58)，恰好由_hot指示。

不難理解，對於沒有左孩子的目標節點，也可以對稱地予以處理。當然，以上同時也已涵蓋了左、右孩子均不存在(即目標節點爲葉節點)的情況。

那麼，當目標節點的左、右孩子雙全時，刪除操作又該如何實施呢?

繼續上例，設擬再刪除二度節點36。如圖$(b)$所示，首先找到該節點的直接後繼(40)。然後，只需如圖$(c)$所示交換二者的數據項，則可將後繼節點等效地視作待刪除的目標節點。不難驗證，該後繼節點必無左孩子，從而相當於轉化爲此前相對簡單的情況。於是最後可如圖$(d)$所示，將新的目標節點(36)替換爲其右孩子(46)。

請注意，在中途互換數據項之後，這一局部如圖$(c)$所示曾經一度並不滿足順序性。但這並不要緊——不難驗證，在按照上述方法完成整個刪除操作之後，全樹的順序性必然又將恢復。

同樣地，除了更新全樹規模記錄和釋放被摘除節點，此時也要更新一系列祖先節點的高度。
不難驗證，此時首個需要更新高度的祖先(53)，依然恰好由_hot指示。

平衡二叉樹

既然二叉搜索樹的性能主要取決於高度，節點數目固定的前提下，應儘可能地降低高度。

相應地，應儘可能地使兄弟子樹的高度彼此接近，即全樹儘可能地平衡。當然，包含n個節點的二叉樹，高度不可能小於$log _2n$。若樹高恰好爲$log_2n$，則稱作理想平衡樹。

在漸進意義下適當放鬆標準之後的平衡性，稱作適度平衡。

若將樹高限制爲“漸進地不超過$O(logn)$”，則AVL樹、伸展樹、紅黑樹、kd-樹等，都屬於適度平衡。這些變種，因此也都可歸入平衡二叉搜索樹(balanced binary search tree，BBST)之列。

等價二叉搜索樹

若兩棵二叉搜索樹的中序遍歷序列相同，則稱它們彼此等價；反之亦然。

由該圖也不難看出，雖然等價二叉搜索樹中各節點的垂直高度可能有所不同，但水平次序完全一致。這一特點可概括爲“上下可變，左右不亂”。

平衡二叉搜索樹的適度平衡性，都是通過對樹中每一局部增加某種限制條件來保證的。比如，在紅黑樹中，從樹根到葉節點的通路，總是包含一樣多的黑節點；在AVL樹中，兄弟節點的高度相差不過1。事實上，這些限制條件設定得非常精妙，除了適度平衡性，還具有如下局部性：

1. 經過單次動態修改操作後，至多隻有$O(1)$處局部不再滿足限制條件
2. 總可在$O(logn)$時間內，使這$O(1)$處局部(以至全樹)重新滿足限制條件

這就意味着：
剛剛失去平衡的二叉搜索樹，必然可以迅速轉換爲一棵等價的平衡二叉搜索樹。

等價二叉搜索樹之間的上述轉換過程，也稱作等價變換。

最基本的修復失衡二叉搜索樹手段，就是通過圍繞特定節點的旋轉，實現等價前提下的局部拓撲調整。

zig和zag

如上圖$(a)$所示，設$c$和$Z$是$v$的左孩子、右子樹，$X$和$Y$是$c$的左、右子樹。所謂以$v$爲軸的zig旋轉，即如上圖$(b)$所示，重新調整這兩個節點與三棵子樹的聯接關係：
將$X$和$v$作爲$c$的左子樹、右孩子，$Y$和$Z$分別作爲$v$的左、右子樹。

可見，儘管局部結構以及子樹根均有變化，中序遍歷序列仍是${ ..., X, c, Y, v, Z, ... }$，故zig旋轉屬於等價變換。

對稱地如上圖$(a)$所示，設$X$和$c$是$v$的左子樹、右孩子，$Y$和$Z$分別是$c$的左、右子樹。所謂以$v$爲軸的zag旋轉，即如上圖$(b)$所示，重新調整這兩個節點與三棵子樹的聯接關係：
將$v$和$Z$作爲$c$的左孩子、右子樹，$X$和$Y$分別作爲$v$的左、右子樹。

同樣地，旋轉之後中序遍歷序列依然不變，故zag旋轉亦屬等價變換。

zig和zag旋轉均屬局部操作，僅涉及常數個節點及其之間的聯接關係，故均可在常數時間內完成。正因如此，在實現各種二叉搜索樹平衡化算法時，它們都是支撐性的基本操作。

就與樹相關的指標而言，經一次zig或zag旋轉之後，節點$v$的深度加一，節點$c$的深度減一；這一局部子樹(乃至全樹)的高度可能發生變化，但上、下幅度均不超過一層。

AVL樹

通過合理設定適度平衡的標準，並藉助以上等價變換，AVL樹(AVL tree)可以實現近乎理想的平衡。在漸進意義下，AVL樹可始終將其高度控制在$O(logn)$以內，從而保證每次查找、插入或刪除操作，均可在$O(logn)$的時間內完成。

任一節點$v$的平衡因子(balance factor)定義爲“其左、右子樹的高度差”，即：
$balFac(v)=height(lc(v)) - height(rc(v))$
請注意，空樹高度取$-1$，單節點子樹(葉節點)高度取$0$，與以上定義沒有衝突。

所謂AVL樹，即平衡因子受限的二叉搜索樹——其中各節點平衡因子的絕對值均不超過1

在完全二叉樹中各節點的平衡因子非0即1，故完全二叉樹必是AVL樹

失衡與重平衡

AVL樹與常規的二叉搜索樹一樣，也應支持插入、刪除等動態修改操作。但經過這類操作之後，節點的高度可能發生變化，以致於不再滿足AVL樹的條件。

以插入操作爲例，考查上圖$(b)$中的AVL樹，其中的關鍵碼爲字符類型。現插入關鍵碼$'M'$，於是如圖$(c)$所示，節點$'N'$、 $'R'$和$'G'$都將失衡。類似地，摘除關鍵碼$'Y'$之後，也會如圖$(a)$所示導致節點$'R'$的失衡。

如此因節點$x$的插入或刪除而暫時失衡的節點，構成失衡節點集，記作$UT(x)$。請注意，若$x$爲被摘除的節點，則$UT(x)$僅含單個節點；但若$x$爲被引入的節點，則$UT(x)$可能包含多個節點。

節點插入

不難看出，新引入節點$x$後，$UT(x)$中的節點都是$x$的祖先，且高度不低於$x$的祖父。以下，將其中的最深者記作$g(x)$。在$x$與$g(x)$之間的通路上，設$p$爲$g(x)$的孩子，$v$爲$p$的孩子。注意，既然$g(x)$不低於$x$的祖父，則$p$必是$x$的真祖先。

首先，需要找到如上定義的$g(x)$。爲此，可從$x$出發沿$parent$指針逐層上行並覈對平衡因子，首次遇到的失衡祖先即爲$g(x)$。既然原樹是平衡的，故這一過程只需$O(logn)$時間。

根據節點$g(x)$、$p$和$v$之間具體的聯接方向,將採用不同的局部調整方案：

如上圖$(a)$所示，設$v$是$p$的右孩子，且$p$是$g$的右孩子。這種情況下，必是由於在子樹$v$中剛插入某節點$x$，而使$g(x)$不再平衡。圖中以虛線聯接的每一對灰色方塊中，其一對應於節點$x$，另一爲空。
此時，可做逆時針旋轉zag($g(x)$)，得到如圖$(b)$所示的另一棵等價二叉搜索樹。
可見，經如此調整之後，$g(x)$必將恢復平衡。不難驗證，通過zig($g(x)$)可以處理對稱的失衡。

如上圖$(a)$所示，設節點$v$是$p$的左孩子，而$p$是$g(x)$的右孩子。這種情況，也必是由於在子樹$v$中插入了新節點$x$，而致使$g(x)$不再平衡。同樣地，在圖中以虛線聯接的每一對灰色方塊中，其一對應於新節點$x$，另一爲空。
此時，可先做順時針旋轉zig($p$)，得到如圖$(b)$所示的一棵等價二叉搜索樹。再做逆時針旋轉zag($g(x)$)，得到如圖$(c)$所示的另一棵等價二叉搜索樹。
此類分別以父子節點爲軸、方向互逆的連續兩次旋轉，合稱“雙旋調整”。可見，經如此調整之後，$g(x)$亦必將重新平衡。不難驗證，通過zag($p$)和zig($g(x)$)可以處理對稱的情況。

無論單旋或雙旋，經局部調整之後，不僅$g(x)$能夠重獲平衡，而且局部子樹的高度也必將復原。這就意味着，$g(x)$以上所有祖先的平衡因子亦將統一地復原——換而言之，在AVL樹中插入新節點後，僅需不超過兩次旋轉，即可使整樹恢復平衡。

AVL樹的節點插入操作可以在$O(logn)$時間內完成。

節點刪除

與插入操作十分不同，在摘除節點$x$後，以及隨後的調整過程中，失衡節點集$UT(x)$始終至多隻含一個節點。而且若該節點$g(x)$存在，其高度必與失衡前相同。
另外還有一點重要的差異是，$g(x)$有可能就是$x$的父親。

與插入操作同理，從_hot節點出發沿$parent$指針上行，經過$O(logn)$時間即可確定$g(x)$位置。作爲失衡節點的$g(x)$，在不包含$x$的一側，必有一個非空孩子$p$，且$p$的高度至少爲1。於是，可按以下規則從$p$的兩個孩子(其一可能爲空)中選出節點$v$：
若兩個孩子不等高，則$v$取作其中的更高者；否則，優先取$v$與$p$同向者(亦即，$v$與$p$同爲左孩子，或者同爲右孩子)。

以下不妨假定失衡後$g(x)$的平衡因子爲+2(爲-2的情況完全對稱)。根據祖孫三代節點$g(x)$、$p$和$v$的位置關係，通過以$g(x)$和$p$爲軸的適當旋轉，同樣可以使得這一局部恢復平衡。

如上圖$(a)$所示，由於在$T3$中刪除了節點而致使$g(x)$不再平衡，但$p$的平衡因子非負時，通過以$g(x)$爲軸順時針旋轉一次即可恢復局部的平衡。平衡後的局部子樹如圖$(b)$所示。
同樣地這裏約定，圖中以虛線聯接的灰色方塊所對應的節點，不能同時爲空；$T2$底部的灰色方塊所對應的節點，可能爲空，也可能非空。

如上圖$(a)$所示，$g(x)$失衡時若$p$的平衡因子爲-1，則經過以$p$爲軸的一次逆時針旋轉之後(圖$(b)$)，接着再以$g(x)$爲軸順時針旋轉，即可恢復局部平衡(圖$(c)$)。

對於刪除節點操作，$g(x)$恢復平衡之後，局部子樹的高度可能降低。對於插入節點操作，重平衡後不僅能恢復子樹的平衡性，也同時能恢復子樹的高度。

與插入操作不同，在刪除節點之後，儘管也可通過單旋或雙旋調整使局部子樹恢復平衡，但就全局而言，依然可能再次失衡。對於刪除節點操作，若$g(x)$原本屬於某一更高祖先的更短分支，則因爲該分支現在又進一步縮短，從而會致使該祖先失衡。在摘除節點之後的調整過程中，這種由於低層失衡節點的重平衡而致使其更高層祖先失衡的現象，稱作“失衡傳播”。

失衡傳播的方向必然自底而上，而不致於影響到後代節點。在此過程中的任一時刻，至多隻有一個失衡的節點；高層的某一節點由平衡轉爲失衡，只可能發生在下層失衡節點恢復平衡之後。因此，可沿$parent$指針逐層遍歷所有祖先，每找到一個失衡的祖先節點，即可套用以上方法使之恢復平衡。

統一重平衡算法——“3 + 4”重構

無論對於插入或刪除操作，從剛發生修改的位置$x$出發逆行而上，直至遇到最低的失衡節點$g(x)$。於是在$g(x)$更高一側的子樹內，其孩子節點$p$和孫子節點$v$必然存在，而且這一局部必然可以$g(x)$、$p$和$v$爲界，分解爲四棵子樹——將它們按中序遍歷次序重命名爲$T0$ 至$T3$。

若同樣按照中序遍歷次序，重新排列$g(x)$、$p$和$v$，並將其命名爲$a$、$b$和$c$，則這一局部的中序遍歷序列應爲：
{$T0 , a, T1 , b, T2 , c, T3$}

將這三個節點與四棵子樹重新如上“組裝”起來，恰好即是一棵AVL樹。

結語

如果您有修改意見或問題，歡迎留言或者通過郵箱和我聯繫。
手打很辛苦，如果我的文章對您有幫助，轉載請註明出處。