統計學的Python實現-017：標準正態分佈

作者：長行

時間：2019.03.15

統計學解釋

正態分佈：正態分佈（normal distribution），又稱高斯分佈；其概率密度（正態分佈曲線）呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱。分佈如圖：

（圖片參見同名word文件）

其概率密度公式爲：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
其中$\sigma$爲標準差，$\mu$爲均值。

當$\mu=0$，$\sigma=1$時稱隨機變量X服從標準正態分佈，其概率密度爲：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$
標準正態分佈的概率即爲φ(x)的標準正態分佈的概率密度的積分，也就是標準正態分佈的分佈函數的值。標準正態分佈的分佈函數如下：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{x}_{-∞}{e^{-\frac{t^2}{2}}dt}$

實現思路

因爲標準正態分佈的概率密度爲超越函數（不可積積分），因此我們通過將被函數包圍的面積切分爲大量矩陣來計算它的積分。

因爲在計算機中我們不方便直接從-∞開始切分爲小矩形，所以對於x>0的情況，我們利用$\phi(0)=0.5$將$\phi(x)$轉化爲在區間(0,X)上的積分，再加上$\phi(0)$的0.5；對於x<0的情況，我們利用公式：
$\phi(-x)=1-\phi(x)$
進行處理，將x<0的情況轉化爲x>0的情況。

實現代碼

import math
def normal_distribution(x):
    #處理x<0(目標點在分佈中心左側)的情況
    if x<0:
        return 1-normal_distribution(-x)
    if x=0:
        return 0.5
    #求標準正態分佈的概率密度的積分
    s=1/10000
    xk=[]
    for i in range(1,x*10000):
        xk.append(i*s)
    integral=(fx_normal_distribution(0)+fx_normal_distribution(x))/2 #f(0)和f(x)各算一半
    for each in xk:
        integral+=fx_normal_distribution(each)
    return 0.5+integral*s

def fx_normal_distribution(x):
    return math.exp((-(x)**2)/2)/(math.sqrt(2*math.pi))

print(normal_distribution(1))

結果

0.8413447458669009