統計學的Python實現-020：已知樣本比例的抽樣分佈

作者：長行

時間：2019.03.24

統計學解釋

已知樣本比例的抽樣分佈計算是一種理想的抽樣分佈算法，通常用來學習抽樣理論。其已知的信息爲總體的分佈特徵，並求在抽取一定容量的樣本後，樣本的分佈特徵。

例如：已知1980年美國總統選舉中，有3490萬選民支持民主黨，有4320萬選民支持共和黨。求事先隨機抽取150位選民能夠成功預測共和黨勝出的概率。

這實際上是二項隨機變量的概率計算的一種實際應用。抽取的樣本服從二項分佈，X～b(n,p)，其中n爲樣本量，p爲要研究的事件發生的概率。因此可以使用二項分佈的公式，要研究的事件發生的次數爲k的概率：
$P\{X=k\}=C^{k}_{n}p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad{k=0,1,2,...,n}$

實現代碼

參考二項隨機變量的概率計算的計算方法，我們有如下的函數計算要研究的事件發生的次數大於等於x的概率：

def binomial_distribution_morethan(p, n, x):
    count = 0
    for i in range(x, n, 1):
        c = math.factorial(n) / math.factorial(n - i) / math.factorial(i)
        count += c * (p ** i) * ((1 - p) ** (n - i))
    return count

其中參數p爲要研究的事件發生的概率，n爲抽取的樣本容量，x爲要研究的事件發生的次數。

例如在1980年美國總統選舉的樣例中：p爲抽取的選民支持共和黨的概率，其概率爲4320/(4320+3490)=0.5531；n爲抽取的樣本量150；x爲預測共和黨勝出至少需要樣本中支持共和黨的人數，即76。因此調用函數的方法爲：

binomial_distribution_morethan(0.5531,150,76)

其結果爲：

0.8896861732667398

實際應用

在一些特殊情況下，我們會事先進行抽樣並預測總體分佈情況，而事後我們又可以得到總體的確切的分佈情況，例如選舉。

在這種情況下，我們可以依據事後得到的總體分佈情況，此計算出之前我們抽取的樣本被抽出的概率，並依據實際推斷原理檢驗抽樣方法是否存在漏洞。

例如在1980年美國總統選舉的樣例中，如果我們抽取的樣本顯示民主黨將獲勝，那麼抽出這樣樣本的概率僅有11%，顯然我們就需要分析我們的抽樣方法是否存在問題了。