Powerful Number學習筆記

比較好的資源只是可能會轉很久
就是對於積性函數$F(x)$求前綴和。
構造出一個滿足對於任意質數$p,F(p) = G(p)$的積性函數$G(x)$。
那麼設$H(x) = \frac {F(x)}{G(x)}$，注意這裏是狄利克雷卷積意義下的除法。
有$F(x) = H(x) G(x)$
考慮$F(p) = H(1)G(p) + H(p)G(1) = G(p) + H(p)$（是積性函數所以$G(1) = H(1) = 1$）
所以$H(p) = F(p) - G(p) = 0$
又因爲$H(x)$是兩個積性函數的商也是一個積性函數。
所以$H(x)$一定能表示成$a^2b^3$的形式（也叫$\rm powerful \ number$），如果我們需要不算重，那麼就讓$b$不含平方因子即可。
積分一下$\int_1^{\sqrt[3]n} \sqrt \frac n{b^3}{\rm d}b = O(\sqrt n)$
所以$\leq n的\rm powerful\ number$的數量是$O(\sqrt n)$的。
因爲$\sum F(x) = \sum G(x)H(x) = \sum H(x) \sum G(x)$
又因爲$H(x)$只有根號$n$個地方有值，我們只需要快速求$G(x)$的前綴和即可。
至於快速求$H(x)$的$\sqrt n$個單點值，可以利用積性函數的性質快速求（猜結論，這個步驟和min25篩一樣）$H(p^q)$的值然後$O(\log n)$求出$H(x)$的單點值。

$\mathcal Code$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mod 1000000007
using namespace std;

LL n;
int K;
#define maxn 4000006
int pr[maxn],vis[maxn],cnt_pr,mu[maxn],mp[maxn];
int ar[maxn],usd[maxn],pw[maxn],pw2[maxn],inv[22],S[22][22];
LL Cube(LL a){ return a * a * a; }
LL sqr(LL a){ return a * a; }
int Pow(int b,int k){ int r=1;for(;k;k>>=1,b=1ll*b*b%mod) if(k&1) r=1ll*r*b%mod; return r; }
int calc(LL n){
	static int ans[maxn]={},usd[maxn]={};
	n %= mod;
	if(n < maxn && usd[n]) return ans[n];
	int r = 0;
	for(int i=1,s=n+1;i<=K;i++){
		s = 1ll * s * (n+1-i) % mod;
		r = (r + 1ll * S[K][i] * s % mod * inv[i+1]) % mod;
	}
	if(n < maxn) usd[n] = 1 , ans[n] = r;
	return r;
}

int main(){
	
	freopen("2.in","r",stdin);
	
	scanf("%lld%d",&n,&K);
	mu[1] = mp[1] = pw[1] = pw2[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
	for(int i=2;1ll*i*i<=n;i++){
		if(!vis[i]) mu[i] = -1 , pr[cnt_pr++] = i , mp[i] = i;
		for(int j=0;sqr(pr[j]*i)<=n;j++){
			vis[pr[j] * i] = 1;
			mp[pr[j] * i] = pr[j];
			if(i % pr[j] == 0){
				mu[i * pr[j]] = 0;
				break;
			}
			mu[i * pr[j]] = -mu[i];
		}
		pw[i] = Pow(i,K) , pw2[i] = pw[i] * 1ll * pw[i] % mod;
	}
	for(int i=2;i<=K+1;i++)
		inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
	S[0][0] = 1;
	for(int i=1;i<=K;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			S[i][j] = (S[i-1][j-1] + 1ll * S[i-1][j] * j) % mod;
	int ans = 0;
	for(int i=1;Cube(i)<=n;i++)	if(mu[i]){
		for(int j=1,LIM=floor(sqrt(n/Cube(i)));j<=LIM;j++){
			ar[0] = 0;
			int sm = 1;
			for(int k=i;k>1;k/=mp[k])
				if(!usd[mp[k]])	
					ar[++ar[0]] = mp[k] , sm = 1ll * sm * (pw[mp[k]] - pw2[mp[k]]) % mod , usd[mp[k]] = 1;
			for(int k=j;k>1;k/=mp[k])
				if(!usd[mp[k]])
					ar[++ar[0]] = mp[k] , sm = 1ll * sm * (pw[mp[k]] - pw2[mp[k]]) % mod , usd[mp[k]] = 1;
			ans = (ans + 1ll * sm * calc(n / Cube(i) / sqr(j))) % mod;
			for(int k=1;k<=ar[0];k++)
				usd[ar[k]] = 0;
		}
	}
	printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}