經典數數題

「PKUWC2018」獵人殺

  • 我們硬點一個集合在 1 後面死然後容斥
    考慮每次在 [1,n][1,n] 隨機,如果不在集合 SS 中就跳過,那麼每個人死亡的概率是一樣的,證明如下
    wtiSwi=wti=1nwi(i=0n(j=1nwjjSwjj=1nwj)i)\frac{w_t} {\sum_{i\in S}w_i}=\frac{w_t}{\sum_{i=1}^nw_i}(\sum_{i=0}^n(\frac{\sum_{j=1}^nw_j-\sum_{j\in S}w_j}{\sum_{j=1}^nw_j})^i)
    分治 nttntt 算一下大小爲 SumSum 的集合個數(帶容斥係數)

【集訓隊作業2018】喂鴿子

  • 考慮 minmaxmin-max 容斥,我們對一個集合 SS 求出它當中第一個餵飽的期望,假設第一個餵飽的時間爲 tt,我們用方案數除以總方案即 St|S|^t 就可以得到期望,方案數寫成 egfegf 的形式就是(我們欽定一個最先飽,那麼總方案乘上 S|S| 即可)
    t![xt]xk(k1)!(i=0k1xii!)S11StntSSt![x^t]\frac{x^k}{(k-1)!}(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{x^i}{i!})^{|S|-1}*\frac{1}{|S|^t}*\frac{n*t}{|S|}*|S|
    注意到 ft(x)=(i=0k1xii!)tf^t(x)=(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{x^i}{i!})^t 是可以遞推的
    ft(x)=tft1(x)(f(x)xk1(k1)!)(n+1)[xn+1]ft(x)=t[xn]ft(x)t[xnk+1]ft1(x)(k1)!f^t(x)'=tf^{t-1}(x)(f(x)-\frac{x^{k-1}}{(k-1)!})\\ (n+1)[x^{n+1}]f^t(x)=t[x^n]f^t(x)-t[x^{n-k+1}]\frac{f^{t-1}(x)}{(k-1)!}
    O(n2k)O(n^2k)

【UR #19】通用測評號

  • 考慮對一個點統計它滿了存在一個其它沒有滿的概率,最後乘上 nn 即可
    我們硬點一個集合 SS,求出這個點滿了其它的都沒有滿的概率最後容斥,寫成 egfegf 的形式就是
    (t+a1)![xt+a]xa(a1)!(i=0b1xii!)S1(S+1)t+a(t+a-1)![x^{t+a}]\frac{x^a}{(a-1)!}(\sum_{i=0}^{b-1}\frac{x^i}{i!})^{|S|}\frac{1}{(|S|+1)^{t+a}}
    O(n3)O(n^3)
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