数据压缩
将二维数据降低到一维数据的方法，有直接替换的方法。下图中，将数据条目的二维特征x1,x2，转化为了一维特征z1。其中，x1和x2是直接相关的（因为四舍五入出现了一些偏差），而z1等于x1。
但是更通用的方法，应该是建立一个直线，该直线到所有特征点的距离平方和是最小的。以该直线建立座标轴z，以数据投影作为z值，将二维数据降低到一维吧。
从本质的方法是，三维数据降低到二维数据的方法，将三维数据投射到一个二维平面上，该二维平面与所有数据点的距离平方和，应该要求最小。
最后，使用该二维平面所组建的新的座标，将数据的在平面的投影作为座标值，将三维数据降低到二维。如下图。
数据可视化
将高维数据降维到三维以下，可以实现可视化效果。但是降维后的数据中，每个维表示的意义，则需要自己定义。
如下，是将国家之间的一些数据，每条数据有50维，最后降低到二维z1,z2，然后绘制出来的数据可视化效果。而通过观察，认为z1与国家规模或者GDP总量有关，而z2则与个人GDP有关。
主成分分析（Principal Component Analysis）问题阐述
主成分分析的方法原理，和之前所述数据降维基本一致，即，找到一个新的座标轴、平面、或者超平面，使得数据到这些座标轴、平面、或者超平面的距离平方和最小。
和机器学习中的有监督训练的，线性回归方法，不同的是，主成分分析法使用的为投影的距离平方和最小化，而线性回归要求，由输入x到模型产生的数据值，到标签y的距离平方和，最小化。这是针对不同领域的，两种不同的方法。
下图中，左为线性回归，右为主成分分析法。
主成分分析算法
首先需要进行数据表示的说明：
数据为X的矩阵（大小n*m，m条数据，n列特征）。每一行表示不同数据条目的相同特征。其中每条数据xi，大小为n行1列。
这是和之前数据表示方面，可能有不同的地方。
算法第一步是进行数据预处理。
在不同数据条目的相同特征下，进行归一化处理：求得特征均值，并将特征进行替换。（必要的吧，可能与协方差的定义有关）
在所有数据条目的不同特征下，将影响过大的特征值进行缩放，使得不同的特征表示出的数据具有可比性。（可选的）
算法的第二步是计算协方差矩阵sigma。协方差的计算方法如下图中公式的第一个。但是注意，其中的xi，表示的是所有样本的某一个特征值的向量。
即，在m个数据，每个数据n个特征，最终要将m个数据的特征降低到k个特征的过程中，xi，为n*1的向量。最终得到的大sigma，即为n*n大小的协方差矩阵。
算法的第三步是使用大sigma作为参数，通过svd（singular value decomposition）奇异值分解函数（另外eig函数也有类似效果，但是svd可能更好用一点吧），获取特征向量U。如上图
从特征向量U中，取得前k列特征向量，得到Ureduce（大小为n*k）。转秩后，通过与每个数据x（规模n*1）相乘，得到该条数据的k个特征。
总结如下：其中，Sigma可以使用X的矩阵乘法，获取到n*n的协方差矩阵。
选择主成分的数量
选择数量时，根据PCA的方法，得到投影的均方差，当均方差和原始数据的均方差，比值最小，则有最小的数据量损失比例。误差为0，则投影均方差为0，误差比例为1，则Xapprox为0。
如下图，分子为投影均方差，分母为总均方差。通过k的增长，测试如下公式，选择最小的k，并满足误差损失比例，得到选择的k。其中：Xapprox为近似的原有特征，该特征使用投影Ureduce（n*k）与降维后的数据z（k*1）的乘积，得到近似的原始的n维数据，为Xapprox（n*1）。
或者，使用svd函数的计算结果中的S，由于该矩阵为对角矩阵，容易计算，得到结果。也容易编程吧。
重建的压缩表示
数据重构的方法如下所示，已经说明过。其含义是将低维数据，通过Ureduce特征向量，重新投射到高维数据的世界中。
如下图中，表示降维前数据的位置（左），降维后的数据位置（下），恢复后的数据位置（右）。
主成分分析法的应用建议
PCA可以压缩数据，可视化数据，加速神经网络训练等。
在图像识别方面，使用PCA，将原始的100*100像素进行降维做预处理，是可行的。在训练集过程中使用Ureduce，同样也应该使用训练集中的Ureduce，以获取验证集和测试集的，降维后的数据。
PCA可以用来加速神经网络的训练过程，但是并不是一个必要的部分。在可以不需要使用PCA的时候，就不应该使用降维损失数据。
另外，使用PCA方法，降低过拟合效果是不可取的。过拟合是由于泛化能力差，样本量不够导致，在m个样本n个特征情况下，虽然降低特征似乎可以降低过拟合，但是不可取（没有从根本上解决问题？？）。应该使用正则化降低过拟合。
下图为原始材料：另外的一些关于过拟合、欠拟合材料：https://zhuanlan.zhihu.com/p/72038532
