送你一份概率圖模型筆記

來源:NewBeeNLP

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本文爲你分享一份概率圖模型學習筆記,一起交流。


寫在前面

其實接觸概率圖模型也有一段時間了,從開始入坑NLP起,也陸陸續續看了很多關於圖模型這方面的論文、博客和教程等,但是總是不能形成一個完整的體系,所以這次就下決心花點時間好好去整理複習一下。網上的資料很多,但是那都是別人的,最重要的還是要學會整理融合成自己的知識。

今天這篇主要就介紹一下圖模型的基礎知識,後面陸續會整理HMM, CRF等比較常見常用的概率圖模型。

概率論只不過是把常識歸納爲計算問題。 (皮誒爾·西蒙·拉普拉斯)

什麼是概率圖

我們首先肯定都知道什麼是圖。圖就是由結點和結點之間的鏈接組成的。那麼概率圖就是在圖結構的基礎上集成了“概率”的概念,也就是,概率圖中的結點變成了隨機變量,鏈接變成了這些隨機變量之間的概率關係(依賴關係)。

在宗成慶老師的統計自然語言處理一書中,有關於圖模型的整體框架,對後面理解各種類型的圖模型有非常好的幫助:

可以看到,整個圖模型的框架可以分成有向圖(也叫做貝葉斯網絡)和無向圖(也叫做馬爾科夫網絡)兩個部分。

  • 在有向圖模型中,結點之間的鏈接有一個特定的方向,表達變量之間的因果關係;

  • 在無向圖模型中,節點之間沒有方向限制,用於表達隨機變量之間的軟限制。

有向圖 VS 無向圖


有向圖

有向圖又可以稱作貝葉斯網絡、信念網絡、有向無環圖模型。


有向圖的一般模型如下所示:

在有向圖中,有個箭頭從x1指向x2,說明是由於x1“導致”x2,表示兩者的依賴關係。通過使用概率乘積規則,我們可以將這個有向圖表示爲數學公式:

下面我們通過一個栗子更好地瞭解有向圖。

“草地是溼的(grass is wet)"的原因可能有兩個:灑水器打開(S=true)或下雨(R=true)。它們之間的關係可以用一個條件概率表(conditional probability table, CPT) 來描述。比如說,我們可以看到 P(W=true|S=true,R=true)=0.99,即當灑水器打開同時下雨的條件下,“草地溼的”概率爲0.99。而“灑水器”和“下雨”的狀態又是由“天氣”決定的。所以,整體的聯合概率可以寫成:

有向圖的條件獨立判斷與d-劃分

首先我們來看三種簡單的條件獨立情況。

1、tail-to-tail

節點C鏈接的是兩個箭頭的尾部, 如下圖


根據上圖可以寫出三個隨機變量的聯合分佈:

接着我們去判斷a, b兩個節點是否條件獨立,有兩種情況:

(1)沒有變量是觀測變量”此時我們可以對a,b,c的聯合分佈對c求積分,如果考慮c是離散的,可得:

可見a,b並不獨立


(2)變量C是觀測變量”  此時我們有:

可知a,b是條件獨立的

2、head-to-tail


同樣我們分爲兩種情況討論a,b的條件獨立性(這裏就不具體寫出了)


3、head-to-head


也是同樣方法去分析。

一個總結(d-劃分)

對於 DAG 圖 E,如果A,B,C是三個集合(可以是單獨的節點或者是節點的集合),爲了判斷 A 和 B 是否是 C 條件獨立的, 我們考慮 E 中所有 A 和 B 之間的“無向路徑” 。對於其中的一條路徑,如果滿足以下兩個條件中的任意一條,則稱這條路徑是“阻塞(block”)的:

(a)路徑中存在某個節點X是 「head-to-tial」 或者 「tail-to-tail」 節點,並且 X 是包含在 C 中的;
(b)路徑中存在某個節點X是「head-to-head」節點,並且 X 或 X 的兒子是不包含在 C 中的;

如果 A,B 間所有的路徑都是阻塞的,那麼 A,B 就是關於 C 條件獨立的;否則, A,B 不是關於 C 條件獨立的。


一個栗子

給定下面一個DAG,判斷圖中a和b是否在c條件下獨立?a和b是否在f條件下獨立?


“問題1”:a到b只有一條路徑a->e->f->b,考慮路徑上除了a和b之外的節點e和f:其中e是head-to-head類型的,且e的兒子節點就是c,根據上述可知e不阻斷;對於f,是tail-to-tail類型的,且f不在c中,f也不阻斷;因此a,b不是c條件下獨立。

“問題2“:路徑 a->e->f->b 上的所有節點。考慮路徑上的點e和f:節點 e 是head-to-head 類型的,e 和她的兒子節點 c 都不在 f 中,e是阻斷路徑的節點。節點 f 是tail-to-tail類型節點,且 f 節點就在 f中,所以 f 節點阻斷了路徑。結論:a 和 b是 f 下條件獨立的。


無向圖

無向圖又可以稱作馬爾科夫網絡、馬爾科夫隨機場,如下圖所示:

概率無向圖的判斷

這裏首先給出判定條件:

如果聯合概率分佈滿足成對、局部或者全局馬爾科夫性,則稱此聯合概率分佈爲概率無向圖模型。

接着我們來看什麼是馬爾科夫性

  • 成對馬爾可夫性:

  • 局部馬爾可夫性:

  • 全局馬爾科夫性:

條件獨立判斷

在有向圖的情形下,我們可以通過d-劃分來判斷一個特定的條件獨立性質是否成立。那麼在無向圖中,有沒有類似的判定方法呢?

還是對於A,B,C,我們考慮鏈接集合A的結點和集合B的結點的所有可能的路徑。如果所有這些路徑都通過了集合C中的一個或多個節點,那麼所有這樣的路徑都被“阻隔”,可以判斷集合A與集合B在給定C的條件下獨立。


還有另一種更明瞭的判定方式。我們把集合C中的所有結點以及與這些結點相連的鏈接全部刪除,然後去考察A和B結點之間是否存在一條路徑,如果沒有這樣的路徑,則條件獨立性質成立。

概率無向圖模型的因子分解

概率無向圖模型的最大特點就是易於因子分解,也就是將整體的聯合概率寫成若干子聯合概率的乘積的形式。

首先我們需要了解什麼是“團”與“最大團”

“團”:無向圖中任何兩個結點均有邊鏈接的結點子集;
“最大團”:無向圖中的某一個團C無法再加入另一個結點使其成爲更大的團,則C爲最大團

那麼怎麼做因子分解呢?

將概率無向圖模型的聯合概率概率分佈表示爲其最大團上的隨機變量的函數的乘積形式的操作,稱爲因子分解。

最後直接看公式

其中,Z(x)爲歸一化因子,目的就是爲了讓結果稱爲概率(對比softmax理解)

後面那個phi函數稱爲勢函數,通常定義爲指數函數:

好的,舉個栗子:比如我們需要將上面這個無向圖進行因子分解

  • 首先,找出最大團:(X1, X3, X4)和(X2, X3, X4)

  • 求因子分解:

判別式模型 VS 生成式模型

在有監督的模式識別或者機器學習問題中,我們可以把模型分爲生成式和判別式兩種。剛接觸的時候也是對這倆模型傻傻分不清楚,無法觸及到兩者的本質區別,然後各種翻閱知乎博客,慢慢有了一些具體的認識。可以參考:

機器學習“判定模型”和“生成模型”有什麼區別?[1]

判別式模型與生成式模型[2]

結合下面的圖記錄一下自己的理解。

對於一個特定的機器學習問題(輸入爲X,輸出或者說標籤爲Y),我們的建模思路大致有以下兩種:

  • 第一種,我們從輸入X中通過特種工程提取出合適的特徵,直接進行根據特徵和標籤Y進行學習,最終得到一個合適的模型(對應上圖就是decision boundary);

  • 第二種,我們既然有了訓練數據,爲什麼不先去了解一下數據是怎麼分佈的呢?如果我們可以通過某種方式得到X和Y的聯合分佈,那麼對於新來的測試數據,我們就可以利用這個聯合分佈來求出所對應的新標籤Y(具體例子參考樸素貝葉斯模型可以很清楚):

好了,上面說的第一種建模思路對應的就是判別式模型,第二種思路對應的就是生成式模型,總結一下:

  • 判別式模型主要有:Logistic Regression、SVM、Traditional Neural Network、Nearest Neighbor、CRF、Linear Discriminant Analysis、Boosting、Linear Regression;

  • 生成式模型主要有:Gaussians, Naive Bayes, Mixtures of Multinomials、Mixtures of Gaussians, Mixtures of Experts, HMMs、Sigmoidal Belief Networks, Bayesian Networks、Markov Random Fields、Latent Dirichlet Allocation

  • 由生成式模型可以得到判別式模型,但由判別式模型得不到生成式模型


本文參考資料

1.機器學習“判定模型”和“生成模型”有什麼區別?: 

https://zhuanlan.zhihu.com/p/30941701

2.判別式模型與生成式模型:

 http://www.leexiang.com/discriminative-model-and-generative-model

編輯:於騰凱

校對:林亦霖

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