Product Integration

Richard D. Gill, Product integration

一般的積分是指黎曼積分, 其計算是把區域無限細分求和並取極限, 有另外一種積分是把區域無限細分求積並取極限, 這個在生存模型中有很多應用.

生存模型

設生存的時間爲隨機變量$T$, 則生存函數定義爲
$S(t):= \mathrm{Pr} (T \ge t), \: t>0,$
顯然$S(0)=0$. 生存函數表示, 一個個體生存時間超過$t$的概率.

連續情形

設隨機變量$T$所對應的密度函數爲$f(t)$, 並定義hazard rate爲
$\alpha (t) := \mathop{\lim} \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\mathrm{Pr}(t \le T \le t+h|T \ge t)}{h},$
注意到
$\frac{\mathrm{Pr}(t \le T \le t+h|T \ge t)}{h}= \frac{\mathrm{Pr}(t\le T \le t+h)}{h \cdot \mathrm{Pr}(T\ge t)},$
故
$\alpha(t)=f(t)/S(t).$
又
$f(t) =\frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(1-S(t))}{\mathrm{d}t}=-\frac{d}{dt}S(t)=:S'(t).$
所以
$\alpha(t)=-\frac{S'(t)}{S(t)}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \log S(t),$
故
$S(t)=\exp \{ -\int_{0}^t \alpha(s) \mathrm{d}s\}, \: t>0.$

離散情形

此時假設$f(t)=\mathrm{Pr}(T=t)$,
$\alpha(t):=\mathrm{Pr}(T=t|T\ge t)=f(t)/S(t),$
可以證明
$S(t)= \prod_0^t (1-\alpha(s)),$
注意, 這裏的$\prod$個人感覺都沒法用極限去理解, 只能用無限(即便是不可數)個1相乘仍爲1理解.

不妨設$f(t)$僅在$0<t_1 < t_2 < \cdots$處非零, 則
$S(t)=1, \: t\le t_1, \\ S(t)=1-f(t_1)=1-\alpha(t_1), \: t_1 < t \le t_2, \\$
$S(t)=1-f(t_1)-f(t_2)=1-\alpha(t_1)- \alpha(t_2)S(t_2)=(1-\alpha(t_1)(1-\alpha(t_2)), \: t_2 < t \le t_3 \\ \cdots$

統一

記連續情況下
$A(t) = \int_0^t \alpha(s) \mathrm{d}s$
離散情況下
$A(t) =\sum_0^t \alpha(s),$
這裏的$\sum$請用勒貝格積分理解, 二者在實變函數下統一爲
$A(t) = \int_0^t \frac{1}{S(s)} \mathrm{d}S(s).$
$A(t+h)-A(t)$可以理解爲個體在$[t,t+h]$內死亡的概率, 則
$S(t)= \lim_{\max |t_i - t_{i-1}| \rightarrow 0} \prod_0^t (1-(A(t_i)-A(t_{i-1}))=:\prod_0^t (1-dA(s))$
意思就是, 個體想活過$t$, 必須前面的每一個階段都是活着的(嚴格的推導, 以及極限存在等等不知).

還有在矩陣和馬爾可夫上的推廣, 一知半解, 就不記錄了.