多重揹包1dp

多重揹包1

有 N 種物品和一個容量是 V的揹包。
第 i種物品最多有 si 件，每件體積是 vi，價值是 wi。
求解將哪些物品裝入揹包，可使物品體積總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
輸出最大價值。
輸入格式
第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品種數和揹包容積。
接下來有 N行，每行三個整數 vi,wi,si，用空格隔開，分別表示第 i種物品的體積、價值和數量。
輸出格式
輸出一個整數，表示最大價值。
數據範圍
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

輸入樣例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

輸出樣例：

10

分析：
多重揹包是說每個物品可以選擇s次。

狀態表示
f(j)表示揹包容量不超過j時候的最大價值
這樣的話狀態轉移
對於第i個物品，有s+1種決策:選擇0個，選擇1個，選擇2個，一直到選擇s個。
如果選擇0個：相當於f(j)
如果選擇1個：相當於 f(j-v)+w
如果選擇2個：相當於 f(j-2v)+2w
…
如果選擇s個：相當於f(j-sv)+sw

然後在上述決策中取最大值。

$f[j]=max(f[j],f[j-v]+w,f[j-2v]+2w,...,f[j-sv]+sw)$,s表示物品最多選擇s次

for(int i=1;i<=n;i++){//枚舉物品
	for(int j=m;j>=v[i];j--){//枚舉揹包容量
		for(int k=1;k<=s&&k*v[i]<=j;k++)//狀態轉移需要一層循環
		f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
	}
	
}

這裏的問題：枚舉揹包容量的時候應該從小到大枚舉還是從大到小枚舉？
這就要看狀態轉移需要的是i-1層的數據，還是第i層的數據。
如果需要第i-1層的數據，需要從大到小枚舉，對應的是01揹包f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-v)+w)。
如果需要第i層更新過的數據，需要從小到大枚舉，對應的是完全揹包f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-v)+w)
這裏第i-1層數據還是第i層數據指的是max裏面第二個f，即是f(i-1,j-v)+w還是f(i,j-v)+w,如果是f(i-1,j-v)+w，則表示第i-1層的數據，如果是f(i,j-v)+w，則表示第i層數據。

對於多重揹包
我們稍微分析一下，f(i,j)，如果第i個選一個，那麼第i個物品是確定的(體積和價值，揹包容量減去v，價值+w)，只需要考慮第i-1個物品，則是f[i-1][j-v[i]]+w[i] ，對應的是第i-1層的數據，故和01揹包相似，揹包容量從大到小枚舉！

複雜度分析
複雜度$O(n^3)$,未優化

題目數據100以內，可以過。

acwing網站上ac代碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;
int n,m,v[maxn],w[maxn],s[maxn];//分別表示 重量，價值和物品數量
int f[maxn];//狀態數組：f[j]表示揹包容量≤j時候的最大價值
int main(){
	
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
	}
	memset(f,0,sizeof(f));
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=v[i];j--){//揹包容量從大到小枚舉
			for(int k=1;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
				f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
		}
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}