#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
#define pb push_back
#define poly vector<int>
using namespace std;
cs int Mod =1e9+7;
int add(int a, int b){return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b;}
int dec(int a, int b){return a - b <0? a - b + Mod : a - b;}
int mul(int a, int b){return1ll * a * b % Mod;}
void Add(int &a, int b){ a =add(a,b);}
void Dec(int &a, int b){ a =dec(a,b);}
void Mul(int &a, int b){ a =mul(a,b);}
int ksm(int a, int b){ int as=1;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))if(b&1)Mul(as,a);return as;}
cs int N =2e3+50;
int n, f[2][N], fc[N], ifc[N];
int C(int n, int m){if(n<0||m<0||n<m)return0;returnmul(fc[n],mul(ifc[n-m],ifc[m]));}
void fc_init(int n){
fc[0]=fc[1]=ifc[0]=ifc[1]=1;for(int i=2; i<=n; i++) fc[i]=mul(fc[i-1],i);
ifc[n]=ksm(fc[n],Mod-2);for(int i=n-1; i>=2; i--) ifc[i]=mul(ifc[i+1],i+1);}
int main(){
#ifdef FSYolanda
freopen("road.in","r",stdin);freopen("road.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&n);fc_init(n); poly F(n+1,0);for(int i=1; i<=n; i++) F[i]=ksm(2,(i-1)*(i-2)>>1);
poly G = F;for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<i; j++)Dec(F[i],mul(C(i-1,j-1),mul(F[j],G[i-j])));} cout<<mul(F[n],n*(n-1)>>1);}
看成一個長爲 m 的序列,每種顏色的球爲 ai 個,帶標號,強制標號爲 1 的在最前方(除掉第一個放的),那麼答案就是合法的排列數
若不考慮第一個不除,答案即爲 ∏aim!
下面考慮第一個,首先第一個出現位置在其它球的第一個後方,我們對這個進行容斥,考慮點一個集合 S 在當前枚舉的 t 後方,那麼 t 的貢獻是 (−1)∣S∣at!(at−1∑i∈Sai+at−1)∗∏i∈Sai(∑i∈Sai)!∗(∑i∈Sai+atm)∗∏i∈/S,i=tai(∑i∈/S,i=tai)!=(−1)∣S∣∏iaiat2(i∈S∑ai+at−1)!(m−∑i∈Sai−at)!(∑i∈Sai+at)!m!(i∈/S,i=t∑ai)!=m!S∑(−1)∣S∣∏aiat2∑i∈Sai+at1
那麼我們只需要 dp 出 fT=∑i∈Sai=T,t∈/S∑(−1)∣S∣
對於限制可以回退一下揹包,O(nm),在膜拜了 ldx 之後即可分治 ntt 做到 O(mlog2m)
#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
#define pb push_back
#define poly vector<int>
using namespace std;
cs int Mod =1e9+7;
int add(int a, int b){return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b;}
int dec(int a, int b){return a - b <0? a - b + Mod : a - b;}
int mul(int a, int b){return1ll * a * b % Mod;}
void Add(int &a, int b){ a =add(a,b);}
void Dec(int &a, int b){ a =dec(a,b);}
void Mul(int &a, int b){ a =mul(a,b);}
int ksm(int a, int b){ int as=1;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))if(b&1)Mul(as,a);return as;}
cs int N =55, M =1e3+50;
int n, m, a[N], iv[M], fc[M], ifc[M];
int dp[M];
void fc_init(int n){
fc[0]=fc[1]=ifc[0]=ifc[1]=iv[0]=iv[1]=1;for(int i=2; i<=n; i++) iv[i]=mul(Mod-Mod/i,iv[Mod%i]);for(int i=2; i<=n; i++) fc[i]=mul(fc[i-1],i);
ifc[n]=ksm(fc[n],Mod-2);for(int i=n-1; i>=2; i--) ifc[i]=mul(ifc[i+1],i+1);}
int main(){
#ifdef FSYolanda
freopen("1.in","r",stdin);// freopen("comb.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&n); int mt=1;for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%d",&a[i]), m+=a[i],Mul(mt,a[i]);fc_init(m); mt=ksm(mt,Mod-2);Mul(mt,fc[m]); dp[0]=1;for(int i=1,S=0; i<=n; i++){
S+=a[i];for(int j=S; j>=a[i]; j--)Dec(dp[j],dp[j-a[i]]);} int ans =0;for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=a[i]; j<=m; j++)Add(dp[j],dp[j-a[i]]); int Sum=0;for(int j=0; j<=m; j++)Add(Sum,mul(dp[j],iv[j+a[i]]));Add(ans,mul(a[i]*a[i],Sum));for(int j=m; j>=a[i]; j--)Dec(dp[j],dp[j-a[i]]);} cout <<mul(ans,mt);return0;}