向量和矩陣的點乘和叉乘

向量

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定義：向量是由N個實數組成的一行N列或N行一列的的數組。

• 點乘：又叫做點積、內積、數量積、標量積，向量a[a1,a2,...,an]和向量b[b1,b2b...,bn]點乘的結果是一個標量，記作a.b；

幾何解釋：a.b = |a| |b| ，故而點乘可以計算出兩個向量的夾角，且向量垂直，點乘結果爲零。

• 叉乘：又叫向量積、外積、叉積，叉乘，向量a[x1,y1,z1]和向量b[x2,y2,z2]叉乘的運算結果是一個向量，並且兩個向量的叉積與這兩個向量組成的座標平面垂直，記作axb；

計算方式：利用行列式方式，設i[1,0,0],j[0,1,0],k[0,0,1]，則如下圖：

幾何解釋：axb =  |a| |b| ，故兩個向量平行，則其叉乘等於零。

幾何意義：叉積的長度|a×b|可以解釋成這兩個叉乘向量a，b共起點時，所構成平行四邊形的面積。

Numpy實現向量的點乘和叉乘

點乘需要用到numpy庫的dot函數，得到一個標量。叉乘需要用到numpy庫的cross函數。

In [1]: import numpu as np   
In [2]: a = np.array([1,2,3]) 
In [3]: b = np.array([2,2,3])   
In [4]: np.dot(a,b)  
Out[4]: 15
In [5]: np.cross(a,b)                                                                                                                                            
Out[5]: array([ 0,  3, -2])

矩陣直接使用*相乘的處理方式是向量對應位置相乘，維數不變，它與np.multiply函數效果一樣，均是元素相乘。

In [6]: a*b               
Out[6]: array([2, 4, 9])
In [7]: np.multiply(a,b)                                                                
Out[7]: array([2, 4, 9])

矩陣

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定義：是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合。

• 矩陣點乘：是矩陣各個對應元素相乘, 這個時候要求兩個矩陣必須同樣大小。
• 矩陣叉乘：矩陣的乘法就是矩陣a的第m行乘以矩陣b的第n列，各個元素對應相乘然後求和作爲第m行n列元素的值。

Numpy實現矩陣的點乘和叉乘

矩陣的點乘直接使用*號即可，也可以使用 numpy庫的multiply函數，叉乘使用dot函數，這與向量相反。

In [1]: a = np.array([[1,2],[3,4]])                 
In [2]: b = np.array([[5,6],[7,8]]) 
In [3]: a*b                                                                                
Out[3]: 
array([[ 5, 12],
       [21, 32]])
In [4]: np.dot(a,b)                                                
Out[4]: 
array([[19, 22],
       [43, 50]])
In [34]: np.multiply(a,b)                                                                                                                                         
Out[34]: 
array([[ 5, 12],
       [21, 32]])

總結Numpy庫

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numpy庫的對象有數組和矩陣，兩者看起來長得差不多，但在性質、運算上有很大不同。可通過array函數和mat函數相互轉化。

• dot函數

對於秩爲1的數組，執行對應位置相乘，然後再相加，等價於向量的點乘；

對於秩不爲1的二維數組，執行矩陣乘法運算，等價於矩陣的叉乘；

• multiply函數

數組和矩陣對應位置相乘，輸出與相乘數組/矩陣的大小一致，效果上與運算符*對數組效果一樣。

• 運算符*號

對數組執行對應位置相乘，等價於multiply函數；

對矩陣執行矩陣乘法運算，等價於dot函數；