LeetCode數組篇（五）：最大正方形問題（動態規劃）

題目

在一個由 0 和 1 組成的二維矩陣內，找到只包含 1 的最大正方形，並返回其面積。

示例:

輸入: 

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

輸出: 4

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兩種思路：

一：暴力篩查

• 計算出每一個點（以該點爲正方形的左上點）最大正方形面積。
  代碼這裏不寫了，時間複雜度過高。

第二種思路：動態規劃

• 創建同樣大小的二維數組int[][] dp，數組存放的值爲
  dp[i][j] 表示以該點爲正方形右下角（或者說該點左上方存在最大正方形）的最大正方形邊長

• 那麼遍歷dp二維數組中最大值的二次方便是本題的答案

動態規劃問題:最爲關鍵是狀態方程的獲取，下面是大致思路

• 1：當（i0 || j0）時(即該點位於二維數組的邊界)，若matrix[i][j] 爲0，則dp[i][j]爲0；若matrix[i][j] 爲1，則dp[i][j]爲1；
• 2：當 (i > 0 && j > 0) 時（即該點位於二維數組的內部）,若matrix[i][j] 爲0，則dp[i][j]爲0；若matrix[i][j] 爲1，你則需要考察dp[i-1][j]，dp[i][j-1]，dp[i-1][j-1] 這三個值的大小；
  • dp[i-1][j] 表示 dp[i][j] 左側能獲取到的正方形最大邊長 （在座標系中你可以理解爲x軸方向）
  • dp[i][j-1] 表示 dp[i][j] 上方能獲取到的正方形最大邊長 （在座標系中你可以理解爲y軸方向）
  • dp[i-1][j-1] 表示 dp[i][j] 內部能獲取的正方形最大邊長

而 matrix[i][j] （元素值爲1）點，左上方能構成最大正方形，取決於上述三者的最短板。
所以不難得出

• dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),dp[i-1][j-1] ) +1;

代碼如下：

class Solution {
    public int maximalSquare(char[][] matrix) {
        // 動態規劃的思想
        int maximal = 0;
        int m = matrix.length;
        if(m == 0){
            return maximal;
        }
        int n = matrix[0].length;
        // 創建二維數組，該數組中存放元素值表示
        // dp[i][j] 點左上方到該點最大正方形的邊長
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++ ){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(i == 0 || j == 0 || matrix[i][j] == '0'){
                    int value = matrix[i][j] - '0';
                    dp[i][j] = value;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],Math.min(dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])) + 1;
                }
                maximal = Math.max(dp[i][j],maximal);
            }
        }
        return maximal*maximal;
    }
}