PP圖，QQ 圖，及 python 畫圖

統計學中有時會用到 PP 圖 或 QQ 圖，用來看樣本數據是否服從某一特定分佈，或用來看兩個樣本數據是否服從同一分佈。

若 PP 或 QQ 圖中的點基本落在一條 45度 的線上，則說明服從特定分佈。

一般的步驟爲：

1. 將樣本數據從小到大排序，假設排序後的樣本數據爲 $x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_n$。
2. 對於 $n$ 個樣本數據，對應 $n$ 個分位數。分位數的取值規則不一樣，一個比較簡答的規則是：第 $k$ 個分位數的取值爲 $Q_k=(k-0.5)/n$
3. 橫座標爲：$x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_n$，縱座標爲：所判斷分佈的累計分佈函數在分位數的逆函數值 $F^-(Q_k)$，則爲 QQ 圖；若橫座標爲：$F(x_1)$，$F(x_2)$，$\dots$，$F(x_n)$，縱座標爲：$Q_k$，則爲 PP 圖。

PP 圖與 QQ 圖的功能基本一樣，我見用 QQ 圖的比較多。因爲分位數的取值規則不一樣，因此 QQ 圖可能畫的不太一樣。

下面以正態分佈的隨機樣本爲例，用 python 畫一下圖形，專門的 QQ 圖也可以調用 scipy 中的 probplot 函數。

import scipy.stats as st
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


n = 100
samples = st.norm.rvs(loc = 5, scale = 2, size = n)

samples_sort = sorted(samples)


x_labels_p = np.zeros(n)
x_labels_p[0] = 1 - 0.5 ** (1/n)
x_labels_p[n - 1] = 0.5 ** (1/n)
for i in range(1, n - 1):
    x_labels_p[i] = (i + 1 - 0.3175)/(n + 0.365)
y_labels_p = st.norm.cdf(samples_sort, loc = 5, scale = 2)

plt.scatter(x_labels_p, y_labels_p)
plt.title('PP plot for normal distribution samle')
plt.show()


x_labels_q = samples_sort
y_labels_q = st.norm.ppf(x_labels_p, loc = 5, scale = 2)

plt.scatter(x_labels_q, y_labels_q)
plt.title('QQ plot for normal distribution samle')
plt.show()

res = st.probplot(samples, sparams=(5, 2), plot = plt) # 若沒有 sparams，默認會標準化樣本數據
plt.title('QQ plot by probplot for normal distribution')
plt.show()

顯示圖形：

由於 probplot 的分位數取值規則不同，從圖形上看，probplot 的 QQ 圖與自己畫的 QQ 圖略微不一樣。