PP图，QQ 图，及 python 画图

统计学中有时会用到 PP 图 或 QQ 图，用来看样本数据是否服从某一特定分布，或用来看两个样本数据是否服从同一分布。

若 PP 或 QQ 图中的点基本落在一条 45度 的线上，则说明服从特定分布。

一般的步骤为：

1. 将样本数据从小到大排序，假设排序后的样本数据为 $x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_n$。
2. 对于 $n$ 个样本数据，对应 $n$ 个分位数。分位数的取值规则不一样，一个比较简答的规则是：第 $k$ 个分位数的取值为 $Q_k=(k-0.5)/n$
3. 横座标为：$x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_n$，纵座标为：所判断分布的累计分布函数在分位数的逆函数值 $F^-(Q_k)$，则为 QQ 图；若横座标为：$F(x_1)$，$F(x_2)$，$\dots$，$F(x_n)$，纵座标为：$Q_k$，则为 PP 图。

PP 图与 QQ 图的功能基本一样，我见用 QQ 图的比较多。因为分位数的取值规则不一样，因此 QQ 图可能画的不太一样。

下面以正态分布的随机样本为例，用 python 画一下图形，专门的 QQ 图也可以调用 scipy 中的 probplot 函数。

import scipy.stats as st
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


n = 100
samples = st.norm.rvs(loc = 5, scale = 2, size = n)

samples_sort = sorted(samples)


x_labels_p = np.zeros(n)
x_labels_p[0] = 1 - 0.5 ** (1/n)
x_labels_p[n - 1] = 0.5 ** (1/n)
for i in range(1, n - 1):
    x_labels_p[i] = (i + 1 - 0.3175)/(n + 0.365)
y_labels_p = st.norm.cdf(samples_sort, loc = 5, scale = 2)

plt.scatter(x_labels_p, y_labels_p)
plt.title('PP plot for normal distribution samle')
plt.show()


x_labels_q = samples_sort
y_labels_q = st.norm.ppf(x_labels_p, loc = 5, scale = 2)

plt.scatter(x_labels_q, y_labels_q)
plt.title('QQ plot for normal distribution samle')
plt.show()

res = st.probplot(samples, sparams=(5, 2), plot = plt) # 若没有 sparams，默认会标准化样本数据
plt.title('QQ plot by probplot for normal distribution')
plt.show()

显示图形：

由于 probplot 的分位数取值规则不同，从图形上看，probplot 的 QQ 图与自己画的 QQ 图略微不一样。