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問題：求1、2、3三個數的全排列
1. 分析遞歸問題
老師：同學們好。今天我們來學習一道全排列的例題，首先請問同學們，遞歸函數有那兩個部分？
同學：老師好。遞歸函數包含 遞歸出口和遞歸體。
老師：沒錯，那麼全排列問題的遞歸出口是什麼？
同學：遞歸出口是最簡單的情況，不用計算過程，計算機能秒出答案。全排列中最簡單的情況，就是分解成只有“1個數”的情況：比如，“1”的全排列就是“1”，“2”的全排列就是“3”……
老師：說得對。但是把一個大規模問題的遞歸過程全展開來學習代碼，是十分複雜的，通常我們只選擇最簡單的過程來分析（當然，只有一個數的過程是最簡單的過程，但是這是能直接出答案的過程，對分析問題來說沒有意義，這裏語境中已經排除掉遞歸出口的情形），那麼，全排列問題中，最簡單的過程是什麼呢？
同學：最簡單的過程是隻有兩個數的過程，比如只有兩個數1、2，我們很容易想出來答案是12和21。通過簡單例子來學習遞歸代碼，遞歸層數不會很深，會更有助於理解代碼。老師，您先用兩個數的例子來給我們講解吧。
老師：好。這位同學對於遞歸的基礎已經掌握得很好了，那現在我們通過這道例題來學習一下，看起來很複雜的遞歸代碼，該如何來理解。學會後，對以後學習快速排序、合併排序、動態規劃等經常用到遞歸來解決的問題會很有幫助。現在，我們開始講解吧！
2. 通過分析兩個數的簡單情況寫代碼
老師：我們現在假設有2個數：1、2，它倆的全排列經歷了三步，你們來說一說過程呢？
同學：有下面三個步驟：
----------------------------------------------------------------
|①步，對程序來說，原先的大數組有倆元素：1、2； |
|②步，第一次交換結果僅僅是恰好與初始狀態相同，但也是交換了的。 |
|③步，拆分成兩個小數組：只有一個元素“1”的子數組，只有一個元素“2”的子數組；|
----------------------------------------------------------------
1) 求第一個結果 | 2) 求第二個結果
①初始倆數：12； | ①初始倆數：12；
②交換順序：12； | ②交換順序：21；
③拆分得：1、2； | ③拆分得：2、1；
④組合輸出結果：12； | ④組合輸出結果：21；
老師：沒錯，不管有多少個數，都有三個大步驟：拆分大數組----交換順序----組合輸出結果。那麼來試一下寫出倆數全排列的代碼吧。
同學：老師，我發現組合輸出結果的過程，是最簡單的。我們先寫這部分代碼：
// 數組名爲list
// 首下標是k，尾下標是m
// 當首下標就是尾下標時，說明這是隻有一個數的數組
// 換句話說，原大數組已經被拆分到最小（②③步），可以直接輸出結果了
if (k==m) {
// 循環輸出結果
for (int i = 0; i <= m; i++) {
cout << list[i] << " ";
}
cout << endl;
}
老師：沒錯，這是1個數時，即最簡單的情況下要做的事情，這也是遞歸函數的出口。
同學：老師，交換兩數的代碼可以這樣寫，對嗎？
swap(list[k], list[m]);
老師：這個代碼在只有兩個數時是沒問題的，但是如果數多了以後，比如，給一組數：1、2、3。k是首下標，m是尾下標。如果僅僅交換這一頭一尾的值，交換是不徹底的，永遠是123、321，“2”沒有做過第一位。所以要通過引入第三個變量，來使數組中所有數都做過第一位。
同學：老師，我們可以通過for循環的控制變量i，來遍歷所有情況：
// k永遠都是數組的第一個下標，以後拆分成小數組後，k是各小數組的第一位
// i值從k開始，直到和m相等，意味着所有數都做過第一位
for (int i = k; i <= m; i++) {
swap(list[k], list[i]);
}
老師：這就對了！現在我們已經把交換順序和組合輸出結果的代碼都寫出來了：
void perm(int list[], int k, int m) {
// 組合輸出結果
if (k == m) {
for (int i = 0; i <= m; i++) {
cout << list[i] << " ";
}
cout << endl;
}
// 交換順序
else {
for (int i = k; i <= m; i++) {
swap(list[k], list[i]);
}
}
}
那麼拆分的代碼怎麼寫呢？
同學：將大數組拆分成小數組，是重複的過程，並且每次範圍都要變小（遞歸，代碼如下）。其實變量i值從k開始循環的過程，就已經隱含了拆分的步驟。小數組從大數組中來，編程中實際一直是用一個數組來存儲原數組，但是人爲通過k值的變化（遞歸函數調用時k+1），將大數組拆分成想象的小數組。因此循環並不是每次都從原數組的首下標開始。每次循環的首下標都是新的小數組的首下標（即是從i=k開始而不是0開始）。
void perm(int list[], int k, int m) {
// 組合輸出結果
if (k == m) {
for (int i = 0; i <= m; i++) {
cout << list[i] << " ";
}
cout << endl;
}
// 交換順序
else {
for (int i = k; i <= m; i++) {
swap(list[k], list[i]);
// 這裏是遞歸，函數自己調用自己
// 每次調用該函數時，list(數組名)、m(尾下標)倆值不變
// k值每次都往m靠攏1位，到最後k會與m相等，到達遞歸出口
perm(list, k + 1, m);
}
}
}
3. 消滅多個數的“特殊”情況
老師：做到這一步已經很棒了。但是運行一下會發現，只有兩個數的時候結果是正確，到三個數以上就不行了。這是哪兒出問題了呢？我們看一下同學們以兩個數爲例描述的步驟：
1) 求第一個結果 | 2) 求第二個結果
①初始倆數：12； | ①初始倆數：12；
②交換順序：12； | ②交換順序：21；
③拆分得：1、2； | ③拆分得：2、1；
④組合輸出結果：12； | ④組合輸出結果：21；
我們可以看到，1)的初始數是12，2)的初始數也是12，說明每次開始處理的初始狀態是相同的，但是爲啥兩個數的時候運行正確呢？原因是，2個數的情況太簡潔了，沒有體現出這種錯誤。1)的②步交換順序的結果，恰好是與初始狀態相同的，當2)又用到原數組時，自然拿到的數組的順序貌似就沒有變過。
老師：如果是123三個數的話（如下圖描述），1)大步①②交換順序時，同樣與初始狀態相同的，這一步正確✅，③步拆分得到1和23，還沒完，23還需要拆分，然後23被拆分再組合成23和32（就是倆數全排列的情形）✅，即1)大步執行結果就是123、132。但是我們發現了，原數組123經過這幾個交換組合後，變成了132。再拿去給2)大步執行，就錯了
1) 分而治之
①初始仨數：123；
②交換順序：123；
③拆分得：1、23；
④“1”已最簡，“23”需再拆分
******************************
*注：對計算機來說，到這裏數組是123*
******************************
2) 求第一個結果 | 3) 求第二個結果
①初始倆數：23； | ①初始倆數：23；
②交換順序：23； | ②交換順序：32；
③拆分得：2、3； | ③拆分得：3、2；
④組合輸出結果：123； | ④組合輸出結果：132；
******************************
*注：對計算機來說，到這裏數組是123*
******************************
******************************
*注：對計算機來說，到這裏數組是132*
******************************
同學：老師，我明白了，3)大步之後，如果再不對數組順序進行恢復，之後的結果就會出錯。事實上，1)2)大步也是需要對數組恢復原順序的，只是剛好交換完成的順序與初始狀態相同，僥倖逃過了錯誤。所以我們應該加一行代碼，讓順序再換回來：
void perm(int list[], int k, int m) {
// 組合輸出結果
if (k == m) {
for (int i = 0; i <= m; i++) {
cout << list[i] << " ";
}
cout << endl;
}
// 交換順序
else {
for (int i = k; i <= m; i++) {
swap(list[k], list[i]);
perm(list, k + 1, m);
// 上面交換後這裏再交換，順序恢復如初
swap(list[k], list[i]);
}
}
}
老師：沒錯，同學們真聰明！
4. 完整代碼
同學：這就是我們的全部代碼：
#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int &a, int &b) {
int tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
void perm(int list[], int k, int m) {
if (k == m) {
for (int i = 0; i <= m; i++) {
cout << list[i] << " ";
}
cout << endl;
} else {
for (int i = k; i <= m; i++) {
swap(list[k], list[i]);
perm(list, k + 1, m);
swap(list[k], list[i]);
}
}
}
int main() {
int list[] = {1, 2, 3, 4};
perm(list, 0, 3);
return 0;
}
代碼運行結果：