学习算法第一天：算法初步

一、学习算法必要性why：

应用：机器学习、数据挖掘、自然语言处理、密码学、计算机图形学等

找工作:贪心、分治、动态规划、树、图等.

二、怎么做how?

• 穷举法（万能算法）

求N个数的全排列

8皇后问题

• 分而治之（减而治之）

二分查找——减而治之

归并排序——分而治之

• 贪心

最小生成树 Prim, Kruskal

单源最短路 Dijkstra

• 动态规划

揹包

士兵路径

三、时间、空间复杂度

常见时间复杂度分析方法

• 数循环次数
• 均摊分析
• 递归式——主定理

• O(1)   基本运算，＋，－，＊，／，%，寻址

• O(logn)   二分查找

• O(n1/2)   枚举约数

• O(n)    线性查找

• O()    朴素最近点对

• O(n3)    Floyd最短路、普通矩阵乘法

• O(nlogn)    归并排序、快速排序的期望复杂度、基于比较排序的算法下界

• O(2n)   枚举全部的子集

• O(n!)    枚举全排列

• 总结：

优秀 O(1) < O(logn) < O(n1/2) < O(n) < O(nlogn)

可能可以优化 O() < O() < O() < O(n!)

证明：O(nlogn)是基于比较的算法时间复杂度的下限

因为排序就是排列组合中的一种，总的组合次数是n!种，每一次比较如i<j即可排除一半的组合，

所以当比较了k次，即>n! 所以k>ln(n!)     ln(n!) < ln()  所以k> nln(n) 所以O(nlogn)是下限

四、时间复杂度的均摊分析

• 多个操作，一起算时间复杂度，MULTIPOP的队列，可以一次性出队k个元素，每个元素只出入队列一次
• 动态数组尾部插入操作（vector）一旦元素超过容量限制，则扩大一倍，再复制原来的数组，再释放原数组空间

所以vector当插入n个元素时，可能发生复制的次数是1+2+4+8+.....+ 次 = 2*-1次=O(2n)   所以插入n个数时间复杂度是 O(n)；所以插入一个元素的时间复杂度是O(1)，所以vector特别快，值得学习。

五、例题1：

• 给定数组a[1…n]，求最大子数组和，即找出1<=i<=j<=n，使a[i]+a[i+1]+…+a[ j]最大，LeetCode第53题,最大子序和

• 介绍三个算法

1. 暴力枚举 O(n3)
2. 优化枚举 O(n2)
3. 贪心法 O(n)

要求：手写暴力枚举算法必须会；暴力枚举：三重循环，时间复杂度 O(n3) 附加空间复杂度 O(1)

for i = 1 to n

     for j = i to n

         sum = a[i]+..+a[j]

         ans =max(ans, sum)

---

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int ans = nums[0];
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            for(int j = i; j < n; ++j){
                int sum = 0;
                for(int k = i; k <= j; ++k){
                    sum += nums[k];
                    if(sum > ans){
                        ans = sum;
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

重点：优化过程就是解决重复计算的过程上述存在i...j的求和与i....j,j+1的求和，存在i...j求和的重复，所以i....j,j+1 = sum(i....j) + nums[j]即可，提前记录sum(i....j)和，优化如下

优化枚举：两重循环

for i = 1 to n

    sum = 0

    for j = i to n

        sum = sum + a[i]

        ans = max(ans, sum)

时间复杂度 O(n2) 附加空间复杂度 O(1) 

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int ans = nums[0];
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            int sum = 0;
            for(int j = i; j < n; ++j){
                sum += nums[j];
                if(sum >= ans){
                    ans = sum;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

贪心法：一重循环

sum = 0 ans = 0

for i = 1 to n

    sum = sum + a[i]

    ans = max(sum, ans)

    if (sum < 0) sum = 0

时间复杂度 O(n) 附加空间复杂度 O(1)

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int ans = nums[0];
        int sum = 0;
        int n=nums.length;
        for(int i=0; i< n; i++){
            sum += nums[i];
            if(sum > ans){
                ans = sum;
            }
            if(sum < 0){
                sum = 0;
            }
        }
        return ans;
    }
}

例题2：设计一个队列；支持：出队，入队，求最大元素；要求O(1)；均摊分析

例题3：给定一个正整数组a，是否能以3个数为边长构成三角形？即是否存在不同的i，j，k，

• 满足 a[i] < a[ j] + a[k]

• 并且 a[ j] < a[i] + a[k]

• 并且 a[k] < a[i] + a[ j]