數據庫原理（八）- 關係代數

前言

關係代數是一種抽象得抽象語言，它用作對關係德運算來表達查詢。
任何一種運算都是講一定的運算符作用與一定得運算對象上，得到預期的運算結果。所以運算對象、運算符、運算結果是運算的三大要素，而關係運算符分爲傳統運算符和專門運算符，如下圖：

傳統的集合運算

傳統的集合運算屬於二目運算，包括並、差、交、笛卡爾積4種運算。
我們首先假設有R和S兩種關係，且相應的屬性取自同一個域，t是元組變量，t∈R表示t是R的一個元組

R表：

A	B	C
a1	b1	c1
a1	b2	c2
a2	b2	c1

S表：

A	B	C
a1	b2	c2
a1	b3	c2
a2	b2	c1

並（union）

並的關係表達式爲：

 R∪S={t|t∈R∨t∈S}

我們將兩張表代入關係表達式，得出以下結果：

R∪S

A	B	C
a1	b1	c1
a1	b2	c2
a2	b2	c1
a1	b3	c2

可知，並操作是將兩張表的數據整合，消除重複列

差（except）

差的關係表達式爲：

R-S={t|t∈R∧t∉ S}

將兩張表代入關係表達式，得出以下結果

R-S

A	B	C
a1	b1	c1

假如倒轉一下，得出一下結果

S-R

A	B	C
a1	b3	c2

可知，差操作是將被減表的數據去除，只保留減表的特有數據

交（intersection）

交的關係表達式爲：

關係表達式 R∩S={t|t∈R∧t∈S}

將兩張表代入關係表達式，得出下結果

R∩S

A	B	C
a1	b2	c2
a2	b2	c1

可知，交操作是將兩張表的交集數據輸出

笛卡爾積（cartesian product）

笛卡爾積的關係表達式爲

R×S={tr ts|tr∈R∧ts∈S}

將兩張表代入關係表達式，得出以下結果

R×S

A	B	C	A	B	C
a1	b1	c1	a1	b2	c2
a1	b1	c1	a1	b3	c2
a1	b1	c1	a2	b2	c1
a1	b2	c2	a1	b2	c2
a1	b2	c2	a1	b3	c2
a1	b2	c2	a2	b2	c1
a2	b2	c1	a1	b2	c2
a2	b2	c1	a1	b3	c2
a2	b2	c1	a2	b2	c1

可知，笛卡爾積的操作就是將乘表的所有元組與被乘表的元組都匹配一遍

專門的集合運算

專門的集合運算包括選擇、投影、連接和除運算等，我們先給出幾張表，等下在進行集合運算中更加清晰

學生表（student）

學號	姓名	性別	年齡	所在系
20170901	趙一	男	20	cs
20170902	錢二	女	20	cs
20170903	張三	男	19	ma

課程表（course）

課程號	課程名	先行課	學分
1	數據庫	1	4
2	數學	1	2
3	信息系統	2	4

成績表（sc）

學號	課程號	成績
20170901	1	82
20170902	1	92
20170902	2	85
20170903	3	90

選擇（selection）

選擇又稱爲限制，它在關係R中選擇滿足給定條件的諸元組，記作

σF(R)={t|t∈R∧F(t)='真'}

其中F表示選擇條件，它是一個邏輯表達式，取邏輯值”真“或”假“。

邏輯表達式F的基本形式爲：

X₁θY₁ 其中θ表示爲條件運算符，可以是 ＞、 ≧、＜、 ≦、 ＝ 和 ＜＞（不等於）

舉個例

查詢年齡等於20歲的學生
σ 年齡列 = 20(學生表) // = 就是應用在關係式中的條件運算符

查詢結果

學號	姓名	性別	年齡	所在系
20170901	趙一	男	20	cs
20170902	錢二	女	20	cs

在基本的選擇條件之上還可以進一步的進行邏輯運算（∧與、∨或、¬非），比如

查詢一個年齡等於20的男生
σ 年齡列 = 20(學生表) a ∧性別列 = 男（學生表）

查詢結果

學號	姓名	性別	年齡	所在系
20170901	趙一	男	20	cs

投影（projection）

關係R上的投影是從R中選擇若干屬性列組成新的關係。記作

∏a（R）={t[A]}|t∈R}

其中A爲R的屬性列，投影操作是從列的角度進行的運算

舉個例子

查詢學生表中所有學生的學號和姓名
∏ 學號，姓名(學生表)

查詢結果

學號	姓名
20170901	趙一
20170902	錢二
20170903	張三

連接（join）

連接也稱爲θ連接，它是從兩個關係的笛卡爾積中選取屬性間滿足一定條件的元組。
這裏假設兩個關係，關係中有某些屬性列相同,且值取自同一域

A	B	C
a1	b1	5
a1	b2	6
a2	b3	8
a2	b4	12

B	E
b1	3
b2	7
b3	10
b3	2
b5	2

一般連接

在一般連接上，A和B分別爲R和S上列數相等且可比的屬性組，θ爲比較運算符，記作

舉個例子

輸出 R⋈S 且C<E的元組

結果爲

A	R.B	C	S.B	E
a1	b1	5	b2	7
a1	b1	5	b3	10
a1	b2	6	b2	7
a1	b2	6	b3	10
a2	b3	8	b3	10

等值連接（equijoin）

θ爲“=”的連接運算稱爲等值連接。它是從關係R與S的廣義笛卡爾積中選取A、B屬性組值相等的那些元組，記作

舉個例子

R⋈S,且R.B=S.B

結果爲

A	R.B	C	S.B	E
a1	b1	5	b1	3
a1	b2	6	b2	7
a2	b3	8	b3	10
a2	b3	8	b3	2

等值連接會去除屬性列不相等的元組

自然連接（natural join）

自然連接是一種特殊的等值連接。它要求兩個關係中進行比較的分量必須是同名的屬性組，並在結果中把重複的屬性列去掉，記作

舉個例子

自然連接 R⋈S

結果爲

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2

外連接（outer join）

兩個關係自然連接時，選擇兩個關係的公共屬性上的值相等的元組構成新的關係，而那些公共屬性上的值不相等的元組就會被捨棄，這些被捨棄的元組稱爲懸浮元組。
如果把懸浮元組也保存在結果關係中，而在其他屬性填空值（null），那麼這種連接就叫做外連接

如R外連接S,結果爲

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2
a2	b4	12	null
nul	b5	null	2

左外連接（left outer join）

如果只保留左邊關係R中的懸浮元組就叫做左外連接，如R⋊S，結果爲

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2
a2	b4	12	null

右外連接（right outer join）

如果只保留右邊關係S中的懸浮元組就叫做右外連接，如R⋉S，結果爲

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2
nul	b5	null	2

除運算（division）

我們用象集來定義除法，首先給定關係R（X，Y）和S（Y，Z），其中X、Y、Z爲屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。
R與S的除運算得到一個新的關係P(X)，P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：元組在X上x分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，記作

R÷S={tr [X]|tr∈R∧∏y(S)⊆Yx}

舉個列子，這裏先列出兩張表
R

A	B	C
a1	b1	c2
a1	b2	c1
a2	b3	c1
a2	b4	c6

B	C	D
a1	b1	d1
a1	b2	d2

R÷S 解法

在關係R中，A可以取2個值{a1，a2}.其中：
a1的象集爲{(b1,c2),(b2,c1)}
a2的象集爲{(b3,c1),(b4,c6)}
S在(B,C)上的投影爲{(a1,b1),(a1,b2)}
顯然只有a1的象集(B,C)a₁包含了S在(B,C)屬性組上的投影，所以R÷S={a₁}

結果爲：

A
a₁

除操作是同時從行和列的角度進行運算

借鑑

王珊,薩師煊.數據庫系統概論(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2014:48-56.
圖片出自於書上

數據庫原理（八）- 關係代數